Vyriešiť x-3y-5=0text{dan}2x-5y=9

$$x - 3 y - 5 = 0 \text { dan } 2 x - 5 y = 9$$

Riešenie pre x,y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$x-3y-5=0,2x-5y=9$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$x-3y-5=0$$

Prirátajte 5 ku obom stranám rovnice.

$$x-3y=5$$

Prirátajte 3y ku obom stranám rovnice.

$$x=3y+5$$

Dosaďte 3y+5 za x v druhej rovnici 2x-5y=9.

$$2\left(3y+5\right)-5y=9$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3y+5.

$$6y+10-5y=9$$

Prirátajte 6y ku -5y.

$$y+10=9$$

Odčítajte hodnotu 10 od oboch strán rovnice.

$$y=-1$$

V rovnici x=3y+5 dosaďte y za premennú -1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=3\left(-1\right)+5$$

Vynásobte číslo 3 číslom -1.

$$x=-3+5$$

Prirátajte 5 ku -3.

$$x=2$$

Systém je vyriešený.

$$x=2,y=-1$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$x-3y-5=0,2x-5y=9$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&-3\\2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{-5-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{-5-\left(-3\times 2\right)}&\frac{1}{-5-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 5+3\times 9\\-2\times 5+9\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=2,y=-1$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$x-3y-5=0,2x-5y=9$$

Ak chcete, aby boli členy x a 2x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 2 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 1.

$$2x+2\left(-3\right)y+2\left(-5\right)=0,2x-5y=9$$

Zjednodušte.

$$2x-6y-10=0,2x-5y=9$$

Odčítajte rovnicu 2x-5y=9 od rovnice 2x-6y-10=0 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$2x-2x-6y+5y-10=-9$$

Prirátajte 2x ku -2x. Členy 2x a -2x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-6y+5y-10=-9$$

Prirátajte -6y ku 5y.

$$-y-10=-9$$

Prirátajte 10 ku obom stranám rovnice.

$$-y=1$$

Vydeľte obe strany hodnotou -1.

$$y=-1$$

V rovnici 2x-5y=9 dosaďte y za premennú -1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$2x-5\left(-1\right)=9$$

Vynásobte číslo -5 číslom -1.

$$2x+5=9$$

Odčítajte hodnotu 5 od oboch strán rovnice.

$$2x=4$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$x=2$$

Systém je vyriešený.

$$x=2,y=-1$$