Vyriešiť x^4+x^2+1=0

$$x ^ { 4 } + x ^ { 2 } + 1 = 0$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=e^{\frac{2\pi i}{3}}\approx -0,5+0,866025404i$$

$$x=e^{\frac{5\pi i}{3}}\approx 0,5-0,866025404i$$

$$x=e^{\frac{4\pi i}{3}}\approx -0,5-0,866025404i$$

$$x=e^{\frac{\pi i}{3}}\approx 0,5+0,866025404i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Náhrada t za x^{2}.

$$t^{2}+t+1=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 1 výrazom a, 1 výrazom b a 1 výrazom c.

$$t=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Urobte výpočty.

$$t=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

Vyriešte rovnicu t=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$t=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} t=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Keďže x=t^{2}, riešenia sa získajú vyhodnotením x=±\sqrt{t} pre každé t.

$$x=-e^{\frac{\pi i}{3}} x=e^{\frac{\pi i}{3}} x=-ie^{\frac{\pi i}{6}} x=ie^{\frac{\pi i}{6}}$$