Vyriešiť x^2-x-7=20

$$x ^ { 2 } - x - 7 = 20$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{\sqrt{109} + 1}{2} \approx 5,720153254$$

$$x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}\approx -4,720153254$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$x^{2}-x-7=20$$

Odčítajte hodnotu 20 od oboch strán rovnice.

$$x^{2}-x-7-20=20-20$$

Výsledkom odčítania čísla 20 od seba samého bude 0.

$$x^{2}-x-7-20=0$$

Odčítajte číslo 20 od čísla -7.

$$x^{2}-x-27=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 1 za a, -1 za b a -27 za c.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-27\right)}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -27.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+108}}{2}$$

Prirátajte 1 ku 108.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{109}}{2}$$

Opak čísla -1 je 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{109}}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{1±\sqrt{109}}{2}, keď ± je plus. Prirátajte 1 ku \sqrt{109}.

$$x=\frac{\sqrt{109}+1}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{1±\sqrt{109}}{2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo \sqrt{109} od čísla 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{\sqrt{109}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-7=20$$

Prirátajte 7 ku obom stranám rovnice.

$$x^{2}-x-7-\left(-7\right)=20-\left(-7\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -7 od seba samého bude 0.

$$x^{2}-x=20-\left(-7\right)$$

Odčítajte číslo -7 od čísla 20.

$$x^{2}-x=27$$

Číslo -1, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{1}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{1}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=27+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{1}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=27+\frac{1}{4}$$

Prirátajte 27 ku \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{109}{4}$$

Rozložte x^{2}-x+\frac{1}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{109}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{109}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{109}}{2}$$

Prirátajte \frac{1}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{109}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}$$