Vyriešiť x^2-4x-21=0

$$x ^ { 2 } - 4 x - 21 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-3$$

$$x=7$$

Postup pri rozkladaní na faktory

Ak chcete vyriešiť rovnicu, faktor x^{2}-4x-21 pomocou vzorca x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-4 ab=-21$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -21.

$$1,-21 3,-7$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-21=-20 3-7=-4$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -4 súčtu.

$$a=-7 b=3$$

Prepíšte výraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) rozložený na faktory pomocou získaných koreňov.

$$\left(x-7\right)\left(x+3\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-7=0 a x+3=0.

$$x=7 x=-3$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare x^{2}+ax+bx-21. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-4 ab=1\left(-21\right)=-21$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -21.

$$1,-21 3,-7$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-21=-20 3-7=-4$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -4 súčtu.

$$a=-7 b=3$$

Zapíšte x^{2}-4x-21 ako výraz \left(x^{2}-7x\right)+\left(3x-21\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(3x-21\right)$$

x na prvej skupine a 3 v druhá skupina.

$$x\left(x-7\right)+3\left(x-7\right)$$

Vyberte spoločný člen x-7 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-7\right)\left(x+3\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-7=0 a x+3=0.

$$x=7 x=-3$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$x^{2}-4x-21=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 1 za a, -4 za b a -21 za c.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-21\right)}}{2}$$

Umocnite číslo -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-21\right)}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -21.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+84}}{2}$$

Prirátajte 16 ku 84.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{100}}{2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 100.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±10}{2}$$

Opak čísla -4 je 4.

$$x=\frac{4±10}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{4±10}{2}, keď ± je plus. Prirátajte 4 ku 10.

$$x=\frac{14}{2}$$

Vydeľte číslo 14 číslom 2.

$$x=7$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{4±10}{2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 10 od čísla 4.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Vydeľte číslo -6 číslom 2.

$$x=-3$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=7 x=-3$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x-21=0$$

Prirátajte 21 ku obom stranám rovnice.

$$x^{2}-4x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -21 od seba samého bude 0.

$$x^{2}-4x=-\left(-21\right)$$

Odčítajte číslo -21 od čísla 0.

$$x^{2}-4x=21$$

Číslo -4, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -2. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -2. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=21+\left(-2\right)^{2}$$

Umocnite číslo -2.

$$x^{2}-4x+4=21+4$$

Prirátajte 21 ku 4.

$$x^{2}-4x+4=25$$

Rozložte x^{2}-4x+4 na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=25$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Zjednodušte.

$$x-2=5 x-2=-5$$

Prirátajte 2 ku obom stranám rovnice.

$$x=7 x=-3$$