Vyriešiť x^2-3x-180=0

$$x ^ { 2 } - 3 x - 180 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-12$$

$$x=15$$

Postup pri rozkladaní na faktory

Ak chcete vyriešiť rovnicu, rozložte na faktory x^{2}-3x-180 použitím vzorca x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=-3 ab=-180$$

Keďže ab je záporná, a a b majú opačné znaky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet -3.

$$a=-15 b=12$$

Prepíšte výraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) rozložený na faktory pomocou získaných koreňov.

$$\left(x-15\right)\left(x+12\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-15=0 a x+12=0.

$$x=15 x=-12$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare x^{2}+ax+bx-180. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=-3 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Keďže ab je záporná, a a b majú opačné znaky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet -3.

$$a=-15 b=12$$

Zapíšte x^{2}-3x-180 ako výraz \left(x^{2}-15x\right)+\left(12x-180\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(12x-180\right)$$

Vyčleňte x v prvej a 12 v druhej skupine.

$$x\left(x-15\right)+12\left(x-15\right)$$

Vyberte spoločný člen x-15 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-15\right)\left(x+12\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-15=0 a x+12=0.

$$x=15 x=-12$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$x^{2}-3x-180=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 1 za a, -3 za b a -180 za c.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

Umocnite číslo -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-180\right)}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -180.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+720}}{2}$$

Prirátajte 9 ku 720.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{729}}{2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 729.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±27}{2}$$

Opak čísla -3 je 3.

$$x=\frac{3±27}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{3±27}{2}, keď ± je plus. Prirátajte 3 ku 27.

$$x=\frac{30}{2}$$

Vydeľte číslo 30 číslom 2.

$$x=15$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{3±27}{2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 27 od čísla 3.

$$x=-\frac{24}{2}$$

Vydeľte číslo -24 číslom 2.

$$x=-12$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=15 x=-12$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-3x-180=0$$

Prirátajte 180 ku obom stranám rovnice.

$$x^{2}-3x-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -180 od seba samého bude 0.

$$x^{2}-3x=-\left(-180\right)$$

Odčítajte číslo -180 od čísla 0.

$$x^{2}-3x=180$$

Číslo -3, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{3}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{3}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=180+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{3}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=180+\frac{9}{4}$$

Prirátajte 180 ku \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{729}{4}$$

Rozložte výraz x^{2}-3x+\frac{9}{4} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{27}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{27}{2}$$

Prirátajte \frac{3}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=15 x=-12$$