Vyriešiť x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=6$$

$$x=7$$

Postup pri rozkladaní na faktory

Ak chcete vyriešiť rovnicu, rozložte na faktory x^{2}-13x+42 použitím vzorca x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=-13 ab=42$$

Keďže ab je kladná, a a b majú rovnaké znamienko. Keďže a+b je záporná, a a b sú negatívne. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet -13.

$$a=-7 b=-6$$

Prepíšte výraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) rozložený na faktory pomocou získaných koreňov.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-7=0 a x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare x^{2}+ax+bx+42. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

Keďže ab je kladná, a a b majú rovnaké znamienko. Keďže a+b je záporná, a a b sú negatívne. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet -13.

$$a=-7 b=-6$$

Zapíšte x^{2}-13x+42 ako výraz \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Vyčleňte x v prvej a -6 v druhej skupine.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Vyberte spoločný člen x-7 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-7=0 a x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 1 za a, -13 za b a 42 za c.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

Umocnite číslo -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

Prirátajte 169 ku -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

Opak čísla -13 je 13.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{13±1}{2}, keď ± je plus. Prirátajte 13 ku 1.

$$x=\frac{14}{2}$$

Vydeľte číslo 14 číslom 2.

$$x=7$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{13±1}{2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 1 od čísla 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Vydeľte číslo 12 číslom 2.

$$x=6$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=7 x=6$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Odčítajte hodnotu 42 od oboch strán rovnice.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

Výsledkom odčítania čísla 42 od seba samého bude 0.

$$x^{2}-13x=-42$$

Číslo -13, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{13}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{13}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{13}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Prirátajte -42 ku \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Rozložte výraz x^{2}-13x+\frac{169}{4} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Prirátajte \frac{13}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=7 x=6$$