Vyriešiť x^2-12x-9=0

$$x ^ { 2 } - 12 x - 9 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=3\sqrt{5}+6\approx 12,708203932$$

$$x=6-3\sqrt{5}\approx -0,708203932$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$x^{2}-12x-9=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 1 za a, -12 za b a -9 za c.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Umocnite číslo -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\left(-9\right)}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+36}}{2}$$

Prirátajte 144 ku 36.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{180}}{2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 180.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{5}}{2}$$

Opak čísla -12 je 12.

$$x=\frac{12±6\sqrt{5}}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{12±6\sqrt{5}}{2}, keď ± je plus. Prirátajte 12 ku 6\sqrt{5}.

$$x=\frac{6\sqrt{5}+12}{2}$$

Vydeľte číslo 12+6\sqrt{5} číslom 2.

$$x=3\sqrt{5}+6$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{12±6\sqrt{5}}{2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 6\sqrt{5} od čísla 12.

$$x=\frac{12-6\sqrt{5}}{2}$$

Vydeľte číslo 12-6\sqrt{5} číslom 2.

$$x=6-3\sqrt{5}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=3\sqrt{5}+6 x=6-3\sqrt{5}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-12x-9=0$$

Prirátajte 9 ku obom stranám rovnice.

$$x^{2}-12x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -9 od seba samého bude 0.

$$x^{2}-12x=-\left(-9\right)$$

Odčítajte číslo -9 od čísla 0.

$$x^{2}-12x=9$$

Číslo -12, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -6. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -6. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=9+\left(-6\right)^{2}$$

Umocnite číslo -6.

$$x^{2}-12x+36=9+36$$

Prirátajte 9 ku 36.

$$x^{2}-12x+36=45$$

Rozložte x^{2}-12x+36 na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=45$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{45}$$

Zjednodušte.

$$x-6=3\sqrt{5} x-6=-3\sqrt{5}$$

Prirátajte 6 ku obom stranám rovnice.

$$x=3\sqrt{5}+6 x=6-3\sqrt{5}$$