Vyriešiť x^2-11x+28=0

$$x ^ { 2 } - 11 x + 28 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=4$$

$$x=7$$

Postup pri rozkladaní na faktory

Ak chcete vyriešiť rovnicu, faktor x^{2}-11x+28 pomocou vzorca x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-11 ab=28$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 28.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -11 súčtu.

$$a=-7 b=-4$$

Prepíšte výraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) rozložený na faktory pomocou získaných koreňov.

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-7=0 a x-4=0.

$$x=7 x=4$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare x^{2}+ax+bx+28. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-11 ab=1\times 28=28$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 28.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -11 súčtu.

$$a=-7 b=-4$$

Zapíšte x^{2}-11x+28 ako výraz \left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right)$$

x na prvej skupine a -4 v druhá skupina.

$$x\left(x-7\right)-4\left(x-7\right)$$

Vyberte spoločný člen x-7 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-7=0 a x-4=0.

$$x=7 x=4$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 1 za a, -11 za b a 28 za c.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 28}}{2}$$

Umocnite číslo -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 28}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 28.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-112}}{2}$$

Prirátajte 121 ku -112.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±3}{2}$$

Opak čísla -11 je 11.

$$x=\frac{11±3}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{11±3}{2}, keď ± je plus. Prirátajte 11 ku 3.

$$x=\frac{14}{2}$$

Vydeľte číslo 14 číslom 2.

$$x=7$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{11±3}{2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 3 od čísla 11.

$$x=\frac{8}{2}$$

Vydeľte číslo 8 číslom 2.

$$x=4$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=7 x=4$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Odčítajte hodnotu 28 od oboch strán rovnice.

$$x^{2}-11x+28-28=-28$$

Výsledkom odčítania čísla 28 od seba samého bude 0.

$$x^{2}-11x=-28$$

Číslo -11, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{11}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{11}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{11}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-28+\frac{121}{4}$$

Prirátajte -28 ku \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{9}{4}$$

Rozložte x^{2}-11x+\frac{121}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{3}{2}$$

Prirátajte \frac{11}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=7 x=4$$