Vyriešiť x^2-10x-23=0

$$x ^ { 2 } - 10 x - 23 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=4\sqrt{3}+5\approx 11,92820323$$

$$x=5-4\sqrt{3}\approx -1,92820323$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$x^{2}-10x-23=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 1 za a, -10 za b a -23 za c.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\left(-23\right)}}{2}$$

Umocnite číslo -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\left(-23\right)}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -23.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+92}}{2}$$

Prirátajte 100 ku 92.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{192}}{2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 192.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±8\sqrt{3}}{2}$$

Opak čísla -10 je 10.

$$x=\frac{10±8\sqrt{3}}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{10±8\sqrt{3}}{2}, keď ± je plus. Prirátajte 10 ku 8\sqrt{3}.

$$x=\frac{8\sqrt{3}+10}{2}$$

Vydeľte číslo 10+8\sqrt{3} číslom 2.

$$x=4\sqrt{3}+5$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{10±8\sqrt{3}}{2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 8\sqrt{3} od čísla 10.

$$x=\frac{10-8\sqrt{3}}{2}$$

Vydeľte číslo 10-8\sqrt{3} číslom 2.

$$x=5-4\sqrt{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=4\sqrt{3}+5 x=5-4\sqrt{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-10x-23=0$$

Prirátajte 23 ku obom stranám rovnice.

$$x^{2}-10x-23-\left(-23\right)=-\left(-23\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -23 od seba samého bude 0.

$$x^{2}-10x=-\left(-23\right)$$

Odčítajte číslo -23 od čísla 0.

$$x^{2}-10x=23$$

Číslo -10, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -5. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -5. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=23+\left(-5\right)^{2}$$

Umocnite číslo -5.

$$x^{2}-10x+25=23+25$$

Prirátajte 23 ku 25.

$$x^{2}-10x+25=48$$

Rozložte x^{2}-10x+25 na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=48$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{48}$$

Zjednodušte.

$$x-5=4\sqrt{3} x-5=-4\sqrt{3}$$

Prirátajte 5 ku obom stranám rovnice.

$$x=4\sqrt{3}+5 x=5-4\sqrt{3}$$