Vyriešiť x^2-10x+90=0

$$x ^ { 2 } - 10 x + 90 = 0$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=5+\sqrt{65}i\approx 5+8,062257748i$$

$$x=-\sqrt{65}i+5\approx 5-8,062257748i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$x^{2}-10x+90=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 1 za a, -10 za b a 90 za c.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 90}}{2}$$

Umocnite číslo -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 90}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 90.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-360}}{2}$$

Prirátajte 100 ku -360.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-260}}{2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -260.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{65}i}{2}$$

Opak čísla -10 je 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2}, keď ± je plus. Prirátajte 10 ku 2i\sqrt{65}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{65}i}{2}$$

Vydeľte číslo 10+2i\sqrt{65} číslom 2.

$$x=5+\sqrt{65}i$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 2i\sqrt{65} od čísla 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{65}i+10}{2}$$

Vydeľte číslo 10-2i\sqrt{65} číslom 2.

$$x=-\sqrt{65}i+5$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=5+\sqrt{65}i x=-\sqrt{65}i+5$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-10x+90=0$$

Odčítajte hodnotu 90 od oboch strán rovnice.

$$x^{2}-10x+90-90=-90$$

Výsledkom odčítania čísla 90 od seba samého bude 0.

$$x^{2}-10x=-90$$

Číslo -10, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -5. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -5. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-90+\left(-5\right)^{2}$$

Umocnite číslo -5.

$$x^{2}-10x+25=-90+25$$

Prirátajte -90 ku 25.

$$x^{2}-10x+25=-65$$

Rozložte x^{2}-10x+25 na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=-65$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{-65}$$

Zjednodušte.

$$x-5=\sqrt{65}i x-5=-\sqrt{65}i$$

Prirátajte 5 ku obom stranám rovnice.

$$x=5+\sqrt{65}i x=-\sqrt{65}i+5$$