Vyriešiť x^2+x-42=0

$$x ^ { 2 } + x - 42 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-7$$

$$x=6$$

Postup pri rozkladaní na faktory

Ak chcete vyriešiť rovnicu, faktor x^{2}+x-42 pomocou vzorca x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=1 ab=-42$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 1 súčtu.

$$a=-6 b=7$$

Prepíšte výraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) rozložený na faktory pomocou získaných koreňov.

$$\left(x-6\right)\left(x+7\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-6=0 a x+7=0.

$$x=6 x=-7$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare x^{2}+ax+bx-42. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=1 ab=1\left(-42\right)=-42$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 1 súčtu.

$$a=-6 b=7$$

Zapíšte x^{2}+x-42 ako výraz \left(x^{2}-6x\right)+\left(7x-42\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(7x-42\right)$$

x na prvej skupine a 7 v druhá skupina.

$$x\left(x-6\right)+7\left(x-6\right)$$

Vyberte spoločný člen x-6 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-6\right)\left(x+7\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-6=0 a x+7=0.

$$x=6 x=-7$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$x^{2}+x-42=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 1 za a, 1 za b a -42 za c.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-42\right)}}{2}$$

Umocnite číslo 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-42\right)}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -42.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2}$$

Prirátajte 1 ku 168.

$$x=\frac{-1±\sqrt{169}}{2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 169.

$$x=\frac{-1±13}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-1±13}{2}, keď ± je plus. Prirátajte -1 ku 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Vydeľte číslo 12 číslom 2.

$$x=6$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-1±13}{2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 13 od čísla -1.

$$x=-\frac{14}{2}$$

Vydeľte číslo -14 číslom 2.

$$x=-7$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=6 x=-7$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+x-42=0$$

Prirátajte 42 ku obom stranám rovnice.

$$x^{2}+x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -42 od seba samého bude 0.

$$x^{2}+x=-\left(-42\right)$$

Odčítajte číslo -42 od čísla 0.

$$x^{2}+x=42$$

Číslo 1, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{1}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{1}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=42+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{1}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=42+\frac{1}{4}$$

Prirátajte 42 ku \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{169}{4}$$

Rozložte x^{2}+x+\frac{1}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{13}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{13}{2}$$

Odčítajte hodnotu \frac{1}{2} od oboch strán rovnice.

$$x=6 x=-7$$