Vyriešiť x^2+3x-20/x^2+3x=8

$$x ^ { 2 } + 3 x - \frac { 20 } { x ^ { 2 } + 3 x } = 8$$

Riešenie pre x

$$x=-2$$

$$x=-1$$

$$x=2$$

$$x=-5$$

Postup riešenia

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -3,0, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice premennou x\left(x+3\right).

$$x\left(x+3\right)x^{2}+3xx\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x a x+3.

$$\left(x^{2}+3x\right)x^{2}+3xx\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x^{2}+3x a x^{2}.

$$x^{4}+3x^{3}+3xx\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

Vynásobením x a x získate x^{2}.

$$x^{4}+3x^{3}+3x^{2}\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 3x^{2} a x+3.

$$x^{4}+3x^{3}+3x^{3}+9x^{2}-20=8x\left(x+3\right)$$

Skombinovaním 3x^{3} a 3x^{3} získate 6x^{3}.

$$x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-20=8x\left(x+3\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 8x a x+3.

$$x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-20=8x^{2}+24x$$

Odčítajte 8x^{2} z oboch strán.

$$x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-20-8x^{2}=24x$$

Skombinovaním 9x^{2} a -8x^{2} získate x^{2}.

$$x^{4}+6x^{3}+x^{2}-20=24x$$

Odčítajte 24x z oboch strán.

$$x^{4}+6x^{3}+x^{2}-20-24x=0$$

Zmeňte usporiadanie rovnice do štandardného tvaru. Členy zoraďte od najväčšieho po najmenší.

$$x^{4}+6x^{3}+x^{2}-24x-20=0$$

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu -20 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 1. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=-1$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo x^{4}+6x^{3}+x^{2}-24x-20 číslom x+1 a dostanete x^{3}+5x^{2}-4x-20. Vyriešte rovnicu, kde sa výsledok rovná 0.

$$x^{3}+5x^{2}-4x-20=0$$

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu -20 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 1. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=2$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo x^{3}+5x^{2}-4x-20 číslom x-2 a dostanete x^{2}+7x+10. Vyriešte rovnicu, kde sa výsledok rovná 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 1 výrazom a, 7 výrazom b a 10 výrazom c.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Vyriešte rovnicu x^{2}+7x+10=0, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=-5 x=-2$$

Uveďte všetky nájdené riešenia.

$$x=-1 x=2 x=-5 x=-2$$