Vyriešiť x^2+11+sqrt{x^2+11}=42

$$x ^ { 2 } + 11 + \sqrt { x ^ { 2 } + 11 } = 42$$

Riešenie pre x

$$x=-5$$

$$x=5$$

Postup riešenia

Odčítajte hodnotu x^{2}+11 od oboch strán rovnice.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-\left(x^{2}+11\right)$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu x^{2}+11, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-x^{2}-11$$

Odčítajte 11 z 42 a dostanete 31.

$$\sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(\sqrt{x^{2}+11}\right)^{2}=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{x^{2}+11} a dostanete x^{2}+11.

$$x^{2}+11=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(31-x^{2}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}$$

Ak chcete umocniť už umocnené číslo, vynásobte mocnitele. Vynásobením čísel 2 a 2 dostanete 4.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+x^{4}$$

Odčítajte 961 z oboch strán.

$$x^{2}+11-961=-62x^{2}+x^{4}$$

Odčítajte 961 z 11 a dostanete -950.

$$x^{2}-950=-62x^{2}+x^{4}$$

Pridať položku 62x^{2} na obidve snímky.

$$x^{2}-950+62x^{2}=x^{4}$$

Skombinovaním x^{2} a 62x^{2} získate 63x^{2}.

$$63x^{2}-950=x^{4}$$

Odčítajte x^{4} z oboch strán.

$$63x^{2}-950-x^{4}=0$$

Náhrada t za x^{2}.

$$-t^{2}+63t-950=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte -1 výrazom a, 63 výrazom b a -950 výrazom c.

$$t=\frac{-63±\sqrt{63^{2}-4\left(-1\right)\left(-950\right)}}{-2}$$

Urobte výpočty.

$$t=\frac{-63±13}{-2}$$

Vyriešte rovnicu t=\frac{-63±13}{-2}, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$t=25 t=38$$

Keďže x=t^{2}, riešenia sa získajú vyhodnotením x=±\sqrt{t} pre každé t.

$$x=5 x=-5 x=\sqrt{38} x=-\sqrt{38}$$

Dosadí 5 za x v rovnici x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$5^{2}+11+\sqrt{5^{2}+11}=42$$

Zjednodušte. Hodnota x=5 vyhovuje rovnici.

$$42=42$$

Dosadí -5 za x v rovnici x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-5\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-5\right)^{2}+11}=42$$

Zjednodušte. Hodnota x=-5 vyhovuje rovnici.

$$42=42$$

Dosadí \sqrt{38} za x v rovnici x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Zjednodušte. Hodnota x=\sqrt{38} nespĺňa rovnicu.

$$56=42$$

Dosadí -\sqrt{38} za x v rovnici x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Zjednodušte. Hodnota x=-\sqrt{38} nespĺňa rovnicu.

$$56=42$$

Uveďte všetky riešenia \sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}.

$$x=5 x=-5$$