Vyriešiť x^2+1/x^2+x+1/x-4=0

$$x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } + x + \frac { 1 } { x } - 4 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}\approx -0,381966011$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{2}\approx -2,618033989$$

$$x=1$$

Postup riešenia

Premenná x sa nemôže rovnať 0, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom x^{2}, najmenším spoločným násobkom čísla x^{2},x.

$$x^{2}x^{2}+1+x^{2}x+x+x^{2}\left(-4\right)=0$$

Ak chcete vynásobiť mocniny rovnakého mocnenca, sčítajte ich mocniteľov. Sčítaním čísel 2 a 2 dostanete 4.

$$x^{4}+1+x^{2}x+x+x^{2}\left(-4\right)=0$$

Ak chcete vynásobiť mocniny rovnakého mocnenca, sčítajte ich mocniteľov. Sčítaním čísel 2 a 1 dostanete 3.

$$x^{4}+1+x^{3}+x+x^{2}\left(-4\right)=0$$

Zmeňte usporiadanie rovnice do štandardného tvaru. Členy zoraďte od najväčšieho po najmenší.

$$x^{4}+x^{3}-4x^{2}+x+1=0$$

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu 1 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 1. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=1$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo x^{4}+x^{3}-4x^{2}+x+1 číslom x-1 a dostanete x^{3}+2x^{2}-2x-1. Vyriešte rovnicu, kde sa výsledok rovná 0.

$$x^{3}+2x^{2}-2x-1=0$$

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu -1 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 1. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=1$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo x^{3}+2x^{2}-2x-1 číslom x-1 a dostanete x^{2}+3x+1. Vyriešte rovnicu, kde sa výsledok rovná 0.

$$x^{2}+3x+1=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 1 výrazom a, 3 výrazom b a 1 výrazom c.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2}$$

Vyriešte rovnicu x^{2}+3x+1=0, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{2} x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}$$

Uveďte všetky nájdené riešenia.

$$x=1 x=\frac{-\sqrt{5}-3}{2} x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}$$