Vyriešiť x+3y=6;5x-2y=13

$$x + 3 y = 6 ; 5 x - 2 y = 13$$

Riešenie pre x,y

$$x=3$$

$$y=1$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$x+3y=6$$

Odčítajte hodnotu 3y od oboch strán rovnice.

$$x=-3y+6$$

Dosaďte -3y+6 za x v druhej rovnici 5x-2y=13.

$$5\left(-3y+6\right)-2y=13$$

Vynásobte číslo 5 číslom -3y+6.

$$-15y+30-2y=13$$

Prirátajte -15y ku -2y.

$$-17y+30=13$$

Odčítajte hodnotu 30 od oboch strán rovnice.

$$-17y=-17$$

Vydeľte obe strany hodnotou -17.

$$y=1$$

V rovnici x=-3y+6 dosaďte y za premennú 1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-3+6$$

Prirátajte 6 ku -3.

$$x=3$$

Systém je vyriešený.

$$x=3,y=1$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 5}&-\frac{3}{-2-3\times 5}\\-\frac{5}{-2-3\times 5}&\frac{1}{-2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{5}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 6+\frac{3}{17}\times 13\\\frac{5}{17}\times 6-\frac{1}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=3,y=1$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Ak chcete, aby boli členy x a 5x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 5 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 1.

$$5x+5\times 3y=5\times 6,5x-2y=13$$

Zjednodušte.

$$5x+15y=30,5x-2y=13$$

Odčítajte rovnicu 5x-2y=13 od rovnice 5x+15y=30 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$5x-5x+15y+2y=30-13$$

Prirátajte 5x ku -5x. Členy 5x a -5x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$15y+2y=30-13$$

Prirátajte 15y ku 2y.

$$17y=30-13$$

Prirátajte 30 ku -13.

$$17y=17$$

Vydeľte obe strany hodnotou 17.

$$y=1$$

V rovnici 5x-2y=13 dosaďte y za premennú 1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$5x-2=13$$

Prirátajte 2 ku obom stranám rovnice.

$$5x=15$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$x=3$$

Systém je vyriešený.

$$x=3,y=1$$