Vyriešiť x+2y=-1;2x-3y=12

$$x + 2 y = - 1 ; 2 x - 3 y = 12$$

Riešenie pre x,y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$x+2y=-1$$

Odčítajte hodnotu 2y od oboch strán rovnice.

$$x=-2y-1$$

Dosaďte -2y-1 za x v druhej rovnici 2x-3y=12.

$$2\left(-2y-1\right)-3y=12$$

Vynásobte číslo 2 číslom -2y-1.

$$-4y-2-3y=12$$

Prirátajte -4y ku -3y.

$$-7y-2=12$$

Prirátajte 2 ku obom stranám rovnice.

$$-7y=14$$

Vydeľte obe strany hodnotou -7.

$$y=-2$$

V rovnici x=-2y-1 dosaďte y za premennú -2. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-2\left(-2\right)-1$$

Vynásobte číslo -2 číslom -2.

$$x=4-1$$

Prirátajte -1 ku 4.

$$x=3$$

Systém je vyriešený.

$$x=3,y=-2$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 2}&-\frac{2}{-3-2\times 2}\\-\frac{2}{-3-2\times 2}&\frac{1}{-3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-1\right)+\frac{2}{7}\times 12\\\frac{2}{7}\left(-1\right)-\frac{1}{7}\times 12\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=3,y=-2$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Ak chcete, aby boli členy x a 2x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 2 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 1.

$$2x+2\times 2y=2\left(-1\right),2x-3y=12$$

Zjednodušte.

$$2x+4y=-2,2x-3y=12$$

Odčítajte rovnicu 2x-3y=12 od rovnice 2x+4y=-2 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$2x-2x+4y+3y=-2-12$$

Prirátajte 2x ku -2x. Členy 2x a -2x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$4y+3y=-2-12$$

Prirátajte 4y ku 3y.

$$7y=-2-12$$

Prirátajte -2 ku -12.

$$7y=-14$$

Vydeľte obe strany hodnotou 7.

$$y=-2$$

V rovnici 2x-3y=12 dosaďte y za premennú -2. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$2x-3\left(-2\right)=12$$

Vynásobte číslo -3 číslom -2.

$$2x+6=12$$

Odčítajte hodnotu 6 od oboch strán rovnice.

$$2x=6$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$x=3$$

Systém je vyriešený.

$$x=3,y=-2$$