Vyriešiť x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

Riešenie pre x

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3,166666667$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Vynásobte obe strany rovnice číslom 6, najmenším spoločným násobkom čísla 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 3 a 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Skombinovaním 6x a 9x získate 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie -2 a x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Skombinovaním 15x a -2x získate 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Sčítaním 3 a 4 získate 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Odčítajte 6x^{2} z oboch strán.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Pridať položku 12 na obidve snímky.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Sčítaním 7 a 12 získate 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Zmeňte usporiadanie polynomickej rovnice do štandardného tvaru. Členy zoraďte od najväčšieho po najmenší.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare -6x^{2}+ax+bx+19. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

Keďže ab je záporná, a a b majú opačné znaky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -114.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet 13.

$$a=19 b=-6$$

Zapíšte -6x^{2}+13x+19 ako výraz \left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right).

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

Vyčleňte -x v prvej a -1 v druhej skupine.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

Vyberte spoločný člen 6x-19 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 6x-19=0 a -x-1=0.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Vynásobte obe strany rovnice číslom 6, najmenším spoločným násobkom čísla 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 3 a 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Skombinovaním 6x a 9x získate 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie -2 a x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Skombinovaním 15x a -2x získate 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Sčítaním 3 a 4 získate 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Odčítajte 6x^{2} z oboch strán.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Pridať položku 12 na obidve snímky.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Sčítaním 7 a 12 získate 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -6 za a, 13 za b a 19 za c.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Umocnite číslo 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -6.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Vynásobte číslo 24 číslom 19.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

Prirátajte 169 ku 456.

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 625.

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -6.

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-13±25}{-12}, keď ± je plus. Prirátajte -13 ku 25.

$$x=\frac{12}{-12}$$

Vydeľte číslo 12 číslom -12.

$$x=-1$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-13±25}{-12}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 25 od čísla -13.

$$x=-\frac{38}{-12}$$

Vykráťte zlomok \frac{-38}{-12} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=\frac{19}{6}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Vynásobte obe strany rovnice číslom 6, najmenším spoločným násobkom čísla 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 3 a 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Skombinovaním 6x a 9x získate 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie -2 a x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Skombinovaním 15x a -2x získate 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Sčítaním 3 a 4 získate 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Odčítajte 6x^{2} z oboch strán.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Odčítajte 7 z oboch strán.

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

Odčítajte 7 z -12 a dostanete -19.

$$13x-6x^{2}=-19$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+13x=-19$$

Vydeľte obe strany hodnotou -6.

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

Delenie číslom -6 ruší násobenie číslom -6.

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

Vydeľte číslo 13 číslom -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

Vydeľte číslo -19 číslom -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

Číslo -\frac{13}{6}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{13}{12}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{13}{12}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{13}{12} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

Prirátajte \frac{19}{6} ku \frac{169}{144} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

Rozložte výraz x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

Prirátajte \frac{13}{12} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$