Vyriešiť r^2-22r-7=0

$$r ^ { 2 } - 22 r - 7 = 0$$

Riešenie pre r

$$r=8\sqrt{2}+11\approx 22,313708499$$

$$r=11-8\sqrt{2}\approx -0,313708499$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$r^{2}-22r-7=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 1 za a, -22 za b a -7 za c.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

Umocnite číslo -22.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\left(-7\right)}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -7.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484+28}}{2}$$

Prirátajte 484 ku 28.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{512}}{2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 512.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±16\sqrt{2}}{2}$$

Opak čísla -22 je 22.

$$r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2}$$

Vyriešte rovnicu r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2}, keď ± je plus. Prirátajte 22 ku 16\sqrt{2}.

$$r=\frac{16\sqrt{2}+22}{2}$$

Vydeľte číslo 22+16\sqrt{2} číslom 2.

$$r=8\sqrt{2}+11$$

Vyriešte rovnicu r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 16\sqrt{2} od čísla 22.

$$r=\frac{22-16\sqrt{2}}{2}$$

Vydeľte číslo 22-16\sqrt{2} číslom 2.

$$r=11-8\sqrt{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$r^{2}-22r-7=0$$

Prirátajte 7 ku obom stranám rovnice.

$$r^{2}-22r-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -7 od seba samého bude 0.

$$r^{2}-22r=-\left(-7\right)$$

Odčítajte číslo -7 od čísla 0.

$$r^{2}-22r=7$$

Číslo -22, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -11. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -11. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$r^{2}-22r+\left(-11\right)^{2}=7+\left(-11\right)^{2}$$

Umocnite číslo -11.

$$r^{2}-22r+121=7+121$$

Prirátajte 7 ku 121.

$$r^{2}-22r+121=128$$

Rozložte r^{2}-22r+121 na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-11\right)^{2}=128$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(r-11\right)^{2}}=\sqrt{128}$$

Zjednodušte.

$$r-11=8\sqrt{2} r-11=-8\sqrt{2}$$

Prirátajte 11 ku obom stranám rovnice.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$