Vyriešiť n^2-n-210=0

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

Riešenie pre n

$$n=-14$$

$$n=15$$

Postup pri rozkladaní na faktory

Ak chcete vyriešiť rovnicu, rozložte na faktory n^{2}-n-210 použitím vzorca n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=-1 ab=-210$$

Keďže ab je záporná, a a b majú opačné znaky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet -1.

$$a=-15 b=14$$

Prepíšte výraz \left(n+a\right)\left(n+b\right) rozložený na faktory pomocou získaných koreňov.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte n-15=0 a n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare n^{2}+an+bn-210. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

Keďže ab je záporná, a a b majú opačné znaky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet -1.

$$a=-15 b=14$$

Zapíšte n^{2}-n-210 ako výraz \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

Vyčleňte n v prvej a 14 v druhej skupine.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

Vyberte spoločný člen n-15 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte n-15=0 a n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$n^{2}-n-210=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 1 za a, -1 za b a -210 za c.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -210.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

Prirátajte 1 ku 840.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 841.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

Opak čísla -1 je 1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

Vyriešte rovnicu n=\frac{1±29}{2}, keď ± je plus. Prirátajte 1 ku 29.

$$n=\frac{30}{2}$$

Vydeľte číslo 30 číslom 2.

$$n=15$$

Vyriešte rovnicu n=\frac{1±29}{2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 29 od čísla 1.

$$n=-\frac{28}{2}$$

Vydeľte číslo -28 číslom 2.

$$n=-14$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$n=15 n=-14$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n-210=0$$

Prirátajte 210 ku obom stranám rovnice.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -210 od seba samého bude 0.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

Odčítajte číslo -210 od čísla 0.

$$n^{2}-n=210$$

Číslo -1, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{1}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{1}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{1}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

Prirátajte 210 ku \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

Rozložte výraz n^{2}-n+\frac{1}{4} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

Zjednodušte.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

Prirátajte \frac{1}{2} ku obom stranám rovnice.

$$n=15 n=-14$$