Vyriešiť n^2-4019n+2009^2leq0

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } \leq 0$$

Riešenie pre n

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 2009 a dostanete 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081\leq 0$$

Ak chcete nerovnosť vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory. Kvadratický mnohočlen možno rozložiť na faktory použitím transformácie ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pričom x_{1} a x_{2} sú riešeniami kvadratickej rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 1 výrazom a, -4019 výrazom b a 4036081 výrazom c.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 1\times 4036081}}{2}$$

Urobte výpočty.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

Vyriešte rovnicu n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Zapíšte nerovnosť pomocou získaných riešení.

$$\left(n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right)\left(n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\right)\leq 0$$

Ak má byť výsledok súčinu ≤0, jedna z hodnôt výrazov n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} a n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2} musí byť ≥0 a druhá musí byť ≤0. Zvážme prípad, keď n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 a n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0.

$$n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0$$

Toto má hodnotu False pre každú premennú n.

$$n\in \emptyset$$

Zvážme prípad, keď n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0 a n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0.

$$n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0 n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0$$

Riešenie, ktoré platí pre obe nerovnosti, je n\in \left[\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right].

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Konečné riešenie získame kombináciou oboch získaných riešení.

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$