Vyriešiť f(x)=x^4-29x^2+100

$$f ( x ) = x ^ { 4 } - 29 x ^ { 2 } + 100$$

Rozložiť na faktory

$$\left(x-5\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Postup riešenia

Ak chcete výraz faktor, vyriešte rovnicu, v ktorej sa rovná 0.

$$x^{4}-29x^{2}+100=0$$

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu 100 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 1. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±100,±50,±25,±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=2$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo x^{4}-29x^{2}+100 číslom x-2 a dostanete x^{3}+2x^{2}-25x-50. Ak chcete vyjadriť výsledok, vyriešte rovnicu, kde sa rovná 0.

$$x^{3}+2x^{2}-25x-50=0$$

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu -50 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 1. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±50,±25,±10,±5,±2,±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=-2$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo x^{3}+2x^{2}-25x-50 číslom x+2 a dostanete x^{2}-25. Ak chcete vyjadriť výsledok, vyriešte rovnicu, kde sa rovná 0.

$$x^{2}-25=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 1 výrazom a, 0 výrazom b a -25 výrazom c.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-25\right)}}{2}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{0±10}{2}$$

Vyriešte rovnicu x^{2}-25=0, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=-5 x=5$$

Prepíšte výraz rozložený na faktory pomocou získaných koreňov.

$$\left(x-5\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Vyhodnotiť

$$x^{4}-29x^{2}+100$$