Vyriešiť f(x)=siny

$$f ( x ) = \sin y$$

Derivovať podľa y

$$\cos(y)$$

Kroky využívajúce definíciu derivácie

Pre funkciu f\left(x\right) je derivácia limitou výrazu \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}, ak sa h blíži k 0, ak takáto limita existuje.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(\sin(y))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}\right)$$

Použite vzorec pre sínus súčtu.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}$$

Vyčleňte \sin(y).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(y)\sin(h)}{h}$$

Zapíšte limitu.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Použite fakt, že y je konštanta pri rátaní limity, ak h sa blíži ku 0.

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Limita \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} je 1.

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)$$

Na vyhodnotenie limity \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} najskôr vynásobte čitateľa a menovateľa číslom \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Vynásobte číslo \cos(h)+1 číslom \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Použite Pytagorovu vetu.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Zapíšte limitu.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Limita \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} je 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Využite skutočnosť, že funkcia \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} je pri hodnote 0 spojitá.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Dosaďte hodnotu 0 do výrazu \sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y).

$$\cos(y)$$

Vyhodnotiť

$$\sin(y)$$