Vyriešiť f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-t)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - t ) d t$$

Vyhodnotiť

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Postup riešenia

Najskôr vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int t^{2}-t\mathrm{d}t$$

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -t\mathrm{d}t$$

Vyčleňte konštantu v každom z výrazov.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-\int t\mathrm{d}t$$

Keďže \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int t^{2}\mathrm{d}t s \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\int t\mathrm{d}t$$

Keďže \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int t\mathrm{d}t s \frac{t^{2}}{2}. Vynásobte číslo -1 číslom \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}$$

Určitý integrál je neurčitým integrálom výrazu vyhodnoteného ako horná limita integrálu mínus neurčitý integrál vyhodnotený ako spodná limita integrálu.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{2}}{2}\right)$$

Zjednodušte.

$$-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Derivovať podľa x

$$x\left(x-1\right)$$