Vyriešiť ax+3y=15text{ve}3x+by=4d

$$a x + 3 y = 15 \text { ve } 3 x + b y = 4 d$$

Riešenie pre x,y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{3\left(5b-4d\right)}{9-ab}\text{, }y=\frac{45-4ad}{9-ab}\text{, }&b=0\text{ or }a\neq \frac{9}{b}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=\frac{15-ax}{3}\text{, }&d=\frac{45}{4a}\text{ and }b=\frac{9}{a}\text{ and }a\neq 0\end{matrix}\right,$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$ax+3y=15$$

Odčítajte hodnotu 3y od oboch strán rovnice.

$$ax=-3y+15$$

Vydeľte obe strany hodnotou a.

$$x=\frac{1}{a}\left(-3y+15\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{a} číslom -3y+15.

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}$$

Dosaďte \frac{3\left(5-y\right)}{a} za x v druhej rovnici 3x+by=4d.

$$3\left(\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}\right)+by=4d$$

Vynásobte číslo 3 číslom \frac{3\left(5-y\right)}{a}.

$$\left(-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}+by=4d$$

Prirátajte -\frac{9y}{a} ku by.

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}=4d$$

Odčítajte hodnotu \frac{45}{a} od oboch strán rovnice.

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y=4d-\frac{45}{a}$$

Vydeľte obe strany hodnotou b-\frac{9}{a}.

$$y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

V rovnici x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a} dosaďte y za premennú \frac{4da-45}{ba-9}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)\times \frac{4ad-45}{ab-9}+\frac{15}{a}$$

Vynásobte číslo -\frac{3}{a} číslom \frac{4da-45}{ba-9}.

$$x=-\frac{3\left(4ad-45\right)}{a\left(ab-9\right)}+\frac{15}{a}$$

Prirátajte \frac{15}{a} ku -\frac{3\left(4da-45\right)}{a\left(ba-9\right)}.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-3\times 3}&-\frac{3}{ab-3\times 3}\\-\frac{3}{ab-3\times 3}&\frac{a}{ab-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}&-\frac{3}{ab-9}\\-\frac{3}{ab-9}&\frac{a}{ab-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}\times 15+\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 4d\\\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 15+\frac{a}{ab-9}\times 4d\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}\\\frac{4ad-45}{ab-9}\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

Ak chcete, aby boli členy ax a 3x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 3 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom a.

$$3ax+3\times 3y=3\times 15,a\times 3x+aby=a\times 4d$$

Zjednodušte.

$$3ax+9y=45,3ax+aby=4ad$$

Odčítajte rovnicu 3ax+aby=4ad od rovnice 3ax+9y=45 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$3ax+\left(-3a\right)x+9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

Prirátajte 3ax ku -3ax. Členy 3ax a -3ax sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

Prirátajte 9y ku -aby.

$$\left(9-ab\right)y=45-4ad$$

Vydeľte obe strany hodnotou 9-ab.

$$y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$

V rovnici 3x+by=4d dosaďte y za premennú \frac{45-4ad}{9-ab}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$3x+b\times \frac{45-4ad}{9-ab}=4d$$

Vynásobte číslo b číslom \frac{45-4ad}{9-ab}.

$$3x+\frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab}=4d$$

Odčítajte hodnotu \frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab} od oboch strán rovnice.

$$3x=\frac{9\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab},y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$

Riešenie pre x,y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{3\left(5b-4d\right)}{9-ab}\text{, }y=\frac{45-4ad}{9-ab}\text{, }&b=0\text{ or }a\neq \frac{9}{b}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\frac{15-ax}{3}\text{, }&d=\frac{45}{4a}\text{ and }b=\frac{9}{a}\text{ and }a\neq 0\end{matrix}\right,$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$ax+3y=15$$

Odčítajte hodnotu 3y od oboch strán rovnice.

$$ax=-3y+15$$

Vydeľte obe strany hodnotou a.

$$x=\frac{1}{a}\left(-3y+15\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{a} číslom -3y+15.

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}$$

Dosaďte \frac{3\left(5-y\right)}{a} za x v druhej rovnici 3x+by=4d.

$$3\left(\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}\right)+by=4d$$

Vynásobte číslo 3 číslom \frac{3\left(5-y\right)}{a}.

$$\left(-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}+by=4d$$

Prirátajte -\frac{9y}{a} ku by.

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}=4d$$

Odčítajte hodnotu \frac{45}{a} od oboch strán rovnice.

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y=4d-\frac{45}{a}$$

Vydeľte obe strany hodnotou b-\frac{9}{a}.

$$y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

V rovnici x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a} dosaďte y za premennú \frac{4da-45}{ba-9}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)\times \frac{4ad-45}{ab-9}+\frac{15}{a}$$

Vynásobte číslo -\frac{3}{a} číslom \frac{4da-45}{ba-9}.

$$x=-\frac{3\left(4ad-45\right)}{a\left(ab-9\right)}+\frac{15}{a}$$

Prirátajte \frac{15}{a} ku -\frac{3\left(4da-45\right)}{a\left(ba-9\right)}.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-3\times 3}&-\frac{3}{ab-3\times 3}\\-\frac{3}{ab-3\times 3}&\frac{a}{ab-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}&-\frac{3}{ab-9}\\-\frac{3}{ab-9}&\frac{a}{ab-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}\times 15+\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 4d\\\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 15+\frac{a}{ab-9}\times 4d\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}\\\frac{4ad-45}{ab-9}\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

Ak chcete, aby boli členy ax a 3x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 3 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom a.

$$3ax+3\times 3y=3\times 15,a\times 3x+aby=a\times 4d$$

Zjednodušte.

$$3ax+9y=45,3ax+aby=4ad$$

Odčítajte rovnicu 3ax+aby=4ad od rovnice 3ax+9y=45 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$3ax+\left(-3a\right)x+9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

Prirátajte 3ax ku -3ax. Členy 3ax a -3ax sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

Prirátajte 9y ku -aby.

$$\left(9-ab\right)y=45-4ad$$

Vydeľte obe strany hodnotou 9-ab.

$$y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$

V rovnici 3x+by=4d dosaďte y za premennú \frac{45-4ad}{9-ab}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$3x+b\times \frac{45-4ad}{9-ab}=4d$$

Vynásobte číslo b číslom \frac{45-4ad}{9-ab}.

$$3x+\frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab}=4d$$

Odčítajte hodnotu \frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab} od oboch strán rovnice.

$$3x=\frac{9\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab},y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$