Vyriešiť a^2-68a+225leq0

$$a ^ { 2 } - 68 a + 225 \leq 0$$

Riešenie pre a

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Ak chcete nerovnosť vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory. Kvadratický mnohočlen možno rozložiť na faktory použitím transformácie ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pričom x_{1} a x_{2} sú riešeniami kvadratickej rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$a^{2}-68a+225=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 1 výrazom a, -68 výrazom b a 225 výrazom c.

$$a=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{\left(-68\right)^{2}-4\times 1\times 225}}{2}$$

Urobte výpočty.

$$a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2}$$

Vyriešte rovnicu a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2}, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$a=7\sqrt{19}+34 a=34-7\sqrt{19}$$

Zapíšte nerovnosť pomocou získaných riešení.

$$\left(a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\right)\left(a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\right)\leq 0$$

Ak má byť výsledok súčinu ≤0, jedna z hodnôt výrazov a-\left(7\sqrt{19}+34\right) a a-\left(34-7\sqrt{19}\right) musí byť ≥0 a druhá musí byť ≤0. Zvážme prípad, keď a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 a a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0.

$$a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0$$

Toto má hodnotu False pre každú premennú a.

$$a\in \emptyset$$

Zvážme prípad, keď a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0 a a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0.

$$a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0 a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0$$

Riešenie, ktoré platí pre obe nerovnosti, je a\in \left[34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\right].

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Konečné riešenie získame kombináciou oboch získaných riešení.

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$