Vyriešiť {l}{x+2y=8}{x-2y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 8 } \\ { x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x=5$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$x+2y=8,x-2y=2$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$x+2y=8$$

Odčítajte hodnotu 2y od oboch strán rovnice.

$$x=-2y+8$$

Dosaďte -2y+8 za x v druhej rovnici x-2y=2.

$$-2y+8-2y=2$$

Prirátajte -2y ku -2y.

$$-4y+8=2$$

Odčítajte hodnotu 8 od oboch strán rovnice.

$$-4y=-6$$

Vydeľte obe strany hodnotou -4.

$$y=\frac{3}{2}$$

V rovnici x=-2y+8 dosaďte y za premennú \frac{3}{2}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-2\times \frac{3}{2}+8$$

Vynásobte číslo -2 číslom \frac{3}{2}.

$$x=-3+8$$

Prirátajte 8 ku -3.

$$x=5$$

Systém je vyriešený.

$$x=5,y=\frac{3}{2}$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$x+2y=8,x-2y=2$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2}&-\frac{2}{-2-2}\\-\frac{1}{-2-2}&\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 2\\\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=5,y=\frac{3}{2}$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$x+2y=8,x-2y=2$$

Odčítajte rovnicu x-2y=2 od rovnice x+2y=8 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$x-x+2y+2y=8-2$$

Prirátajte x ku -x. Členy x a -x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$2y+2y=8-2$$

Prirátajte 2y ku 2y.

$$4y=8-2$$

Prirátajte 8 ku -2.

$$4y=6$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$y=\frac{3}{2}$$

V rovnici x-2y=2 dosaďte y za premennú \frac{3}{2}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x-2\times \frac{3}{2}=2$$

Vynásobte číslo -2 číslom \frac{3}{2}.

$$x-3=2$$

Prirátajte 3 ku obom stranám rovnice.

$$x=5$$

Systém je vyriešený.

$$x=5,y=\frac{3}{2}$$