Vyriešiť 9y^2-12y+2=0

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

Riešenie pre y

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1,138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0,195262146$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 9 za a, -12 za b a 2 za c.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Umocnite číslo -12.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -36 číslom 2.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

Prirátajte 144 ku -72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Opak čísla -12 je 12.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 9.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

Vyriešte rovnicu y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}, keď ± je plus. Prirátajte 12 ku 6\sqrt{2}.

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

Vydeľte číslo 12+6\sqrt{2} číslom 18.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

Vyriešte rovnicu y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 6\sqrt{2} od čísla 12.

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

Vydeľte číslo 12-6\sqrt{2} číslom 18.

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Odčítajte hodnotu 2 od oboch strán rovnice.

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

Výsledkom odčítania čísla 2 od seba samého bude 0.

$$9y^{2}-12y=-2$$

Vydeľte obe strany hodnotou 9.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

Delenie číslom 9 ruší násobenie číslom 9.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

Vykráťte zlomok \frac{-12}{9} na základný tvar extrakciou a elimináciou 3.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

Číslo -\frac{4}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{2}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{2}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{2}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

Prirátajte -\frac{2}{9} ku \frac{4}{9} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

Rozložte y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

Zjednodušte.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Prirátajte \frac{2}{3} ku obom stranám rovnice.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$