Vyriešiť 9x^2-24x=65

$$9 x ^ { 2 } - 24 x = 65$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4,333333333$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Odčítajte 65 z oboch strán.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 9x^{2}+ax+bx-65. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-24 ab=9\left(-65\right)=-585$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -585.

$$1,-585 3,-195 5,-117 9,-65 13,-45 15,-39$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-585=-584 3-195=-192 5-117=-112 9-65=-56 13-45=-32 15-39=-24$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -24 súčtu.

$$a=-39 b=15$$

Zapíšte 9x^{2}-24x-65 ako výraz \left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right).

$$\left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right)$$

3x na prvej skupine a 5 v druhá skupina.

$$3x\left(3x-13\right)+5\left(3x-13\right)$$

Vyberte spoločný člen 3x-13 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(3x-13\right)\left(3x+5\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 3x-13=0 a 3x+5=0.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$9x^{2}-24x=65$$

Odčítajte hodnotu 65 od oboch strán rovnice.

$$9x^{2}-24x-65=65-65$$

Výsledkom odčítania čísla 65 od seba samého bude 0.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 9 za a, -24 za b a -65 za c.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Umocnite číslo -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -36 číslom -65.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+2340}}{2\times 9}$$

Prirátajte 576 ku 2340.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{2916}}{2\times 9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 2916.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±54}{2\times 9}$$

Opak čísla -24 je 24.

$$x=\frac{24±54}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 9.

$$x=\frac{24±54}{18}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{24±54}{18}, keď ± je plus. Prirátajte 24 ku 54.

$$x=\frac{78}{18}$$

Vykráťte zlomok \frac{78}{18} na základný tvar extrakciou a elimináciou 6.

$$x=\frac{13}{3}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{24±54}{18}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 54 od čísla 24.

$$x=-\frac{30}{18}$$

Vykráťte zlomok \frac{-30}{18} na základný tvar extrakciou a elimináciou 6.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-24x=65$$

Vydeľte obe strany hodnotou 9.

$$\frac{9x^{2}-24x}{9}=\frac{65}{9}$$

Delenie číslom 9 ruší násobenie číslom 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{9}\right)x=\frac{65}{9}$$

Vykráťte zlomok \frac{-24}{9} na základný tvar extrakciou a elimináciou 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{65}{9}$$

Číslo -\frac{8}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{4}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{4}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{65}{9}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{4}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{65+16}{9}$$

Prirátajte \frac{65}{9} ku \frac{16}{9} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=9$$

Rozložte x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=9$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{4}{3}=3 x-\frac{4}{3}=-3$$

Prirátajte \frac{4}{3} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$