Vyriešiť 9x^2-12x-4=0

$$9 x ^ { 2 } - 12 x - 4 = 0$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{2 \sqrt{2} + 2}{3} \approx 1,609475708$$

$$x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}\approx -0,276142375$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$9x^{2}-12x-4=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 9 za a, -12 za b a -4 za c.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Umocnite číslo -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -36 číslom -4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+144}}{2\times 9}$$

Prirátajte 144 ku 144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{288}}{2\times 9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 288.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±12\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Opak čísla -12 je 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 9.

$$x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18}, keď ± je plus. Prirátajte 12 ku 12\sqrt{2}.

$$x=\frac{12\sqrt{2}+12}{18}$$

Vydeľte číslo 12+12\sqrt{2} číslom 18.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 12\sqrt{2} od čísla 12.

$$x=\frac{12-12\sqrt{2}}{18}$$

Vydeľte číslo 12-12\sqrt{2} číslom 18.

$$x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3} x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-12x-4=0$$

Prirátajte 4 ku obom stranám rovnice.

$$9x^{2}-12x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -4 od seba samého bude 0.

$$9x^{2}-12x=-\left(-4\right)$$

Odčítajte číslo -4 od čísla 0.

$$9x^{2}-12x=4$$

Vydeľte obe strany hodnotou 9.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=\frac{4}{9}$$

Delenie číslom 9 ruší násobenie číslom 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=\frac{4}{9}$$

Vykráťte zlomok \frac{-12}{9} na základný tvar extrakciou a elimináciou 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{4}{9}$$

Číslo -\frac{4}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{2}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{2}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{2}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{4+4}{9}$$

Prirátajte \frac{4}{9} ku \frac{4}{9} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{8}{9}$$

Rozložte x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{8}{9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8}{9}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

Prirátajte \frac{2}{3} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3} x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$