Vyriešiť 9x^2+7x+9=25

$$9 x ^ { 2 } + 7 x + 9 = 25$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9} \approx -1,777777778$$

$$x=1$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Odčítajte 25 z oboch strán.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Odčítajte 25 z 9 a dostanete -16.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 9x^{2}+ax+bx-16. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=7 ab=9\left(-16\right)=-144$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 7 súčtu.

$$a=-9 b=16$$

Zapíšte 9x^{2}+7x-16 ako výraz \left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right).

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)$$

9x na prvej skupine a 16 v druhá skupina.

$$9x\left(x-1\right)+16\left(x-1\right)$$

Vyberte spoločný člen x-1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-1\right)\left(9x+16\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-1=0 a 9x+16=0.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Odčítajte hodnotu 25 od oboch strán rovnice.

$$9x^{2}+7x+9-25=25-25$$

Výsledkom odčítania čísla 25 od seba samého bude 0.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Odčítajte číslo 25 od čísla 9.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 9 za a, 7 za b a -16 za c.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Umocnite číslo 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -36 číslom -16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 9}$$

Prirátajte 49 ku 576.

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 625.

$$x=\frac{-7±25}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 9.

$$x=\frac{-7±25}{18}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-7±25}{18}, keď ± je plus. Prirátajte -7 ku 25.

$$x=\frac{18}{18}$$

Vydeľte číslo 18 číslom 18.

$$x=1$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-7±25}{18}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 25 od čísla -7.

$$x=-\frac{32}{18}$$

Vykráťte zlomok \frac{-32}{18} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=-\frac{16}{9}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Odčítajte hodnotu 9 od oboch strán rovnice.

$$9x^{2}+7x+9-9=25-9$$

Výsledkom odčítania čísla 9 od seba samého bude 0.

$$9x^{2}+7x=25-9$$

Odčítajte číslo 9 od čísla 25.

$$9x^{2}+7x=16$$

Vydeľte obe strany hodnotou 9.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{16}{9}$$

Delenie číslom 9 ruší násobenie číslom 9.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{16}{9}$$

Číslo \frac{7}{9}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{7}{18}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{7}{18}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{16}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{7}{18} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{16}{9}+\frac{49}{324}$$

Prirátajte \frac{16}{9} ku \frac{49}{324} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{625}{324}$$

Rozložte x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{625}{324}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{324}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{25}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{25}{18}$$

Odčítajte hodnotu \frac{7}{18} od oboch strán rovnice.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$