Vyriešiť 9x^2+3x-1=0

$$9 x ^ { 2 } + 3 x - 1 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{6}\approx 0,20601133$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{6}\approx -0,539344663$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$9x^{2}+3x-1=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 9 za a, 3 za b a -1 za c.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Umocnite číslo 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-36\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -36 číslom -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+36}}{2\times 9}$$

Prirátajte 9 ku 36.

$$x=\frac{-3±\sqrt{45}}{2\times 9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 45.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{5}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 9.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{5}}{18}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-3±3\sqrt{5}}{18}, keď ± je plus. Prirátajte -3 ku 3\sqrt{5}.

$$x=\frac{3\sqrt{5}-3}{18}$$

Vydeľte číslo -3+3\sqrt{5} číslom 18.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-3±3\sqrt{5}}{18}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 3\sqrt{5} od čísla -3.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}-3}{18}$$

Vydeľte číslo -3-3\sqrt{5} číslom 18.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{6}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{5}-1}{6}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+3x-1=0$$

Prirátajte 1 ku obom stranám rovnice.

$$9x^{2}+3x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -1 od seba samého bude 0.

$$9x^{2}+3x=-\left(-1\right)$$

Odčítajte číslo -1 od čísla 0.

$$9x^{2}+3x=1$$

Vydeľte obe strany hodnotou 9.

$$\frac{9x^{2}+3x}{9}=\frac{1}{9}$$

Delenie číslom 9 ruší násobenie číslom 9.

$$x^{2}+\frac{3}{9}x=\frac{1}{9}$$

Vykráťte zlomok \frac{3}{9} na základný tvar extrakciou a elimináciou 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{9}$$

Číslo \frac{1}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{1}{6}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{1}{6}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{1}{6} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{9}+\frac{1}{36}$$

Prirátajte \frac{1}{9} ku \frac{1}{36} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{5}{36}$$

Rozložte x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{5}{36}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{36}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{5}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{5}}{6}$$

Odčítajte hodnotu \frac{1}{6} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{5}-1}{6}$$