Vyriešiť 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Riešenie pre n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Odčítajte 3n^{2} z oboch strán.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Skombinovaním 9n^{2} a -3n^{2} získate 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 6n^{2}+an+bn+20. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Keďže ab je kladná, a a b majú rovnaké znamienko. Keďže a+b je záporná, a a b sú negatívne. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet -23.

$$a=-15 b=-8$$

Zapíšte 6n^{2}-23n+20 ako výraz \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Vyčleňte 3n v prvej a -4 v druhej skupine.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Vyberte spoločný člen 2n-5 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 2n-5=0 a 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Odčítajte 3n^{2} z oboch strán.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Skombinovaním 9n^{2} a -3n^{2} získate 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 6 za a, -23 za b a 20 za c.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Umocnite číslo -23.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo -24 číslom 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Prirátajte 529 ku -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

Opak čísla -23 je 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Vyriešte rovnicu n=\frac{23±7}{12}, keď ± je plus. Prirátajte 23 ku 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Vykráťte zlomok \frac{30}{12} na základný tvar extrakciou a elimináciou 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

Vyriešte rovnicu n=\frac{23±7}{12}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 7 od čísla 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Vykráťte zlomok \frac{16}{12} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Odčítajte 3n^{2} z oboch strán.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Skombinovaním 9n^{2} a -3n^{2} získate 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Odčítajte 20 z oboch strán. Výsledkom odčítania čísla od nuly je jeho záporná hodnota.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Vydeľte obe strany hodnotou 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

Delenie číslom 6 ruší násobenie číslom 6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Vykráťte zlomok \frac{-20}{6} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Číslo -\frac{23}{6}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{23}{12}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{23}{12}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{23}{12} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Prirátajte -\frac{10}{3} ku \frac{529}{144} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Rozložte výraz n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Zjednodušte.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Prirátajte \frac{23}{12} ku obom stranám rovnice.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$