Vyriešiť 9(2x+3)^2-4(2x-5)^2=0

$$9 ( 2 x + 3 ) ^ { 2 } - 4 ( 2 x - 5 ) ^ { 2 } = 0$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{19}{2} = -9\frac{1}{2} = -9,5$$

$$x=\frac{1}{10}=0,1$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Na rozloženie výrazu \left(2x+3\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$9\left(4x^{2}+12x+9\right)-4\left(2x-5\right)^{2}=0$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 9 a 4x^{2}+12x+9.

$$36x^{2}+108x+81-4\left(2x-5\right)^{2}=0$$

Na rozloženie výrazu \left(2x-5\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$36x^{2}+108x+81-4\left(4x^{2}-20x+25\right)=0$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie -4 a 4x^{2}-20x+25.

$$36x^{2}+108x+81-16x^{2}+80x-100=0$$

Skombinovaním 36x^{2} a -16x^{2} získate 20x^{2}.

$$20x^{2}+108x+81+80x-100=0$$

Skombinovaním 108x a 80x získate 188x.

$$20x^{2}+188x+81-100=0$$

Odčítajte 100 z 81 a dostanete -19.

$$20x^{2}+188x-19=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 20x^{2}+ax+bx-19. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=188 ab=20\left(-19\right)=-380$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -380.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 188 súčtu.

$$a=-2 b=190$$

Zapíšte 20x^{2}+188x-19 ako výraz \left(20x^{2}-2x\right)+\left(190x-19\right).

$$\left(20x^{2}-2x\right)+\left(190x-19\right)$$

2x na prvej skupine a 19 v druhá skupina.

$$2x\left(10x-1\right)+19\left(10x-1\right)$$

Vyberte spoločný člen 10x-1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(10x-1\right)\left(2x+19\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 10x-1=0 a 2x+19=0.

$$x=\frac{1}{10} x=-\frac{19}{2}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Na rozloženie výrazu \left(2x+3\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$9\left(4x^{2}+12x+9\right)-4\left(2x-5\right)^{2}=0$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 9 a 4x^{2}+12x+9.

$$36x^{2}+108x+81-4\left(2x-5\right)^{2}=0$$

Na rozloženie výrazu \left(2x-5\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$36x^{2}+108x+81-4\left(4x^{2}-20x+25\right)=0$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie -4 a 4x^{2}-20x+25.

$$36x^{2}+108x+81-16x^{2}+80x-100=0$$

Skombinovaním 36x^{2} a -16x^{2} získate 20x^{2}.

$$20x^{2}+108x+81+80x-100=0$$

Skombinovaním 108x a 80x získate 188x.

$$20x^{2}+188x+81-100=0$$

Odčítajte 100 z 81 a dostanete -19.

$$20x^{2}+188x-19=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 20 za a, 188 za b a -19 za c.

$$x=\frac{-188±\sqrt{188^{2}-4\times 20\left(-19\right)}}{2\times 20}$$

Umocnite číslo 188.

$$x=\frac{-188±\sqrt{35344-4\times 20\left(-19\right)}}{2\times 20}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 20.

$$x=\frac{-188±\sqrt{35344-80\left(-19\right)}}{2\times 20}$$

Vynásobte číslo -80 číslom -19.

$$x=\frac{-188±\sqrt{35344+1520}}{2\times 20}$$

Prirátajte 35344 ku 1520.

$$x=\frac{-188±\sqrt{36864}}{2\times 20}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 36864.

$$x=\frac{-188±192}{2\times 20}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 20.

$$x=\frac{-188±192}{40}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-188±192}{40}, keď ± je plus. Prirátajte -188 ku 192.

$$x=\frac{4}{40}$$

Vykráťte zlomok \frac{4}{40} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x=\frac{1}{10}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-188±192}{40}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 192 od čísla -188.

$$x=-\frac{380}{40}$$

Vykráťte zlomok \frac{-380}{40} na základný tvar extrakciou a elimináciou 20.

$$x=-\frac{19}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{1}{10} x=-\frac{19}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Na rozloženie výrazu \left(2x+3\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$9\left(4x^{2}+12x+9\right)-4\left(2x-5\right)^{2}=0$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 9 a 4x^{2}+12x+9.

$$36x^{2}+108x+81-4\left(2x-5\right)^{2}=0$$

Na rozloženie výrazu \left(2x-5\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$36x^{2}+108x+81-4\left(4x^{2}-20x+25\right)=0$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie -4 a 4x^{2}-20x+25.

$$36x^{2}+108x+81-16x^{2}+80x-100=0$$

Skombinovaním 36x^{2} a -16x^{2} získate 20x^{2}.

$$20x^{2}+108x+81+80x-100=0$$

Skombinovaním 108x a 80x získate 188x.

$$20x^{2}+188x+81-100=0$$

Odčítajte 100 z 81 a dostanete -19.

$$20x^{2}+188x-19=0$$

Pridať položku 19 na obidve snímky. Prirátaním nuly sa hodnota nezmení.

$$20x^{2}+188x=19$$

Vydeľte obe strany hodnotou 20.

$$\frac{20x^{2}+188x}{20}=\frac{19}{20}$$

Delenie číslom 20 ruší násobenie číslom 20.

$$x^{2}+\frac{188}{20}x=\frac{19}{20}$$

Vykráťte zlomok \frac{188}{20} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x^{2}+\frac{47}{5}x=\frac{19}{20}$$

Číslo \frac{47}{5}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{47}{10}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{47}{10}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{47}{5}x+\left(\frac{47}{10}\right)^{2}=\frac{19}{20}+\left(\frac{47}{10}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{47}{10} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{47}{5}x+\frac{2209}{100}=\frac{19}{20}+\frac{2209}{100}$$

Prirátajte \frac{19}{20} ku \frac{2209}{100} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{47}{5}x+\frac{2209}{100}=\frac{576}{25}$$

Rozložte x^{2}+\frac{47}{5}x+\frac{2209}{100} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{47}{10}\right)^{2}=\frac{576}{25}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{47}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{576}{25}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{47}{10}=\frac{24}{5} x+\frac{47}{10}=-\frac{24}{5}$$

Odčítajte hodnotu \frac{47}{10} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{1}{10} x=-\frac{19}{2}$$