Vyriešiť 9x^2-30x+25=0

$$9 { x }^{ 2 } -30x+25=0$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 9x^{2}+ax+bx+25. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=-30 ab=9\times 25=225$$

Keďže ab je kladná, a a b majú rovnaké znamienko. Keďže a+b je záporná, a a b sú negatívne. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet -30.

$$a=-15 b=-15$$

Zapíšte 9x^{2}-30x+25 ako výraz \left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right).

$$\left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right)$$

Vyčleňte 3x v prvej a -5 v druhej skupine.

$$3x\left(3x-5\right)-5\left(3x-5\right)$$

Vyberte spoločný člen 3x-5 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(3x-5\right)\left(3x-5\right)$$

Prepíšte rovnicu ako druhú mocninu dvojčlena.

$$\left(3x-5\right)^{2}$$

Ak chcete nájsť riešenie rovnice, vyriešte 3x-5=0.

$$x=\frac{5}{3}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 9 za a, -30 za b a 25 za c.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Umocnite číslo -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 9.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -36 číslom 25.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

Prirátajte 900 ku -900.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 0.

$$x=-\frac{-30}{2\times 9}$$

Opak čísla -30 je 30.

$$x=\frac{30}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 9.

$$x=\frac{30}{18}$$

Vykráťte zlomok \frac{30}{18} na základný tvar extrakciou a elimináciou 6.

$$x=\frac{5}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Odčítajte hodnotu 25 od oboch strán rovnice.

$$9x^{2}-30x+25-25=-25$$

Výsledkom odčítania čísla 25 od seba samého bude 0.

$$9x^{2}-30x=-25$$

Vydeľte obe strany hodnotou 9.

$$\frac{9x^{2}-30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

Delenie číslom 9 ruší násobenie číslom 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)x=-\frac{25}{9}$$

Vykráťte zlomok \frac{-30}{9} na základný tvar extrakciou a elimináciou 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

Číslo -\frac{10}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{5}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{5}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{5}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Prirátajte -\frac{25}{9} ku \frac{25}{9} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

Rozložte výraz x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{5}{3}=0 x-\frac{5}{3}=0$$

Prirátajte \frac{5}{3} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{5}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená. Riešenia sú rovnaké.

$$x=\frac{5}{3}$$