Vyriešiť 9*x^2-27*x-252=0

$$9 \cdot x ^ { 2 } - 27 \cdot x - 252 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-4$$

$$x=7$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Vydeľte obe strany hodnotou 9.

$$x^{2}-3x-28=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare x^{2}+ax+bx-28. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -3 súčtu.

$$a=-7 b=4$$

Zapíšte x^{2}-3x-28 ako výraz \left(x^{2}-7x\right)+\left(4x-28\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(4x-28\right)$$

x na prvej skupine a 4 v druhá skupina.

$$x\left(x-7\right)+4\left(x-7\right)$$

Vyberte spoločný člen x-7 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-7\right)\left(x+4\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-7=0 a x+4=0.

$$x=7 x=-4$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$9x^{2}-27x-252=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 9 za a, -27 za b a -252 za c.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\times 9\left(-252\right)}}{2\times 9}$$

Umocnite číslo -27.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\times 9\left(-252\right)}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 9.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-36\left(-252\right)}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -36 číslom -252.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729+9072}}{2\times 9}$$

Prirátajte 729 ku 9072.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{9801}}{2\times 9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 9801.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±99}{2\times 9}$$

Opak čísla -27 je 27.

$$x=\frac{27±99}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 9.

$$x=\frac{27±99}{18}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{27±99}{18}, keď ± je plus. Prirátajte 27 ku 99.

$$x=\frac{126}{18}$$

Vydeľte číslo 126 číslom 18.

$$x=7$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{27±99}{18}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 99 od čísla 27.

$$x=-\frac{72}{18}$$

Vydeľte číslo -72 číslom 18.

$$x=-4$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=7 x=-4$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-27x-252=0$$

Prirátajte 252 ku obom stranám rovnice.

$$9x^{2}-27x-252-\left(-252\right)=-\left(-252\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -252 od seba samého bude 0.

$$9x^{2}-27x=-\left(-252\right)$$

Odčítajte číslo -252 od čísla 0.

$$9x^{2}-27x=252$$

Vydeľte obe strany hodnotou 9.

$$\frac{9x^{2}-27x}{9}=\frac{252}{9}$$

Delenie číslom 9 ruší násobenie číslom 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{27}{9}\right)x=\frac{252}{9}$$

Vydeľte číslo -27 číslom 9.

$$x^{2}-3x=\frac{252}{9}$$

Vydeľte číslo 252 číslom 9.

$$x^{2}-3x=28$$

Číslo -3, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{3}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{3}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{3}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Prirátajte 28 ku \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Rozložte x^{2}-3x+\frac{9}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Prirátajte \frac{3}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=7 x=-4$$