Vyriešiť 81x^2+180x+100

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

Rozložiť na faktory

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Postup riešenia

Rozložte výraz na faktory pomocou zoskupenia. Najprv je výraz potrebné prepísať do tvaru 81x^{2}+ax+bx+100. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

Keďže ab je kladná, a a b majú rovnaké znamienko. Keďže a+b je kladná, a a b sú pozitívne. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 8100.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet 180.

$$a=90 b=90$$

Zapíšte 81x^{2}+180x+100 ako výraz \left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right).

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

Vyčleňte 9x v prvej a 10 v druhej skupine.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

Vyberte spoločný člen 9x+10 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Prepíšte rovnicu ako druhú mocninu dvojčlena.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Postup použitia druhej mocniny dvojčlenna

Tento trojčlen má tvar mocniny trojčlena, ktorý je možno vynásobený spoločným činiteľom. Mocniny trojčlena možno rozložiť nájdením druhých odmocnín člena s najvyšším a člena s najnižším mocniteľom.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa koeficientov.

$$gcf(81,180,100)=1$$

Nájdite druhú odmocninu člena s najvyšším mocniteľom 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Nájdite druhú odmocninu člena s najnižším mocniteľom 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Druhá mocnina trojčlena je druhá mocnina dvojčlena, ktorý je súčtom alebo rozdielom druhých odmocnín prvého a posledného člena, pričom znamienko sa určuje podľa znamienka stredného člena druhej mocniny trojčlena.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Kvadratický mnohočlen možno rozložiť na faktory použitím transformácie ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pričom x_{1} a x_{2} sú riešeniami kvadratickej rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Umocnite číslo 180.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 81.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Vynásobte číslo -324 číslom 100.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Prirátajte 32400 ku -32400.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 0.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 81.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

Rozložte pôvodný výraz na faktory použitím ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Za x_{1} dosaďte -\frac{10}{9} a za x_{2} dosaďte -\frac{10}{9}.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

Zjednodušiť všetky výrazy v podobe p-\left(-q\right) na p+q.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Prirátajte \frac{10}{9} ku x zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Prirátajte \frac{10}{9} ku x zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

Vynásobte zlomok \frac{9x+10}{9} zlomkom \frac{9x+10}{9} tak, že vynásobíte čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom. Ak je to možné, zlomok potom čo najviac vykráťte.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

Vynásobte číslo 9 číslom 9.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

Vykráťte 81 a 81 najväčším spoločným deliteľom 81.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Vyhodnotiť

$$\left(9x+10\right)^{2}$$