Vyriešiť 81b^2-126b+48=0

$$81 b ^ { 2 } - 126 b + 48 = 0$$

Riešenie pre b

$$b=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

$$b=\frac{8}{9}\approx 0,888888889$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$81b^{2}-126b+48=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 81 za a, -126 za b a 48 za c.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±\sqrt{\left(-126\right)^{2}-4\times 81\times 48}}{2\times 81}$$

Umocnite číslo -126.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±\sqrt{15876-4\times 81\times 48}}{2\times 81}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 81.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±\sqrt{15876-324\times 48}}{2\times 81}$$

Vynásobte číslo -324 číslom 48.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±\sqrt{15876-15552}}{2\times 81}$$

Prirátajte 15876 ku -15552.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±\sqrt{324}}{2\times 81}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 324.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±18}{2\times 81}$$

Opak čísla -126 je 126.

$$b=\frac{126±18}{2\times 81}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 81.

$$b=\frac{126±18}{162}$$

Vyriešte rovnicu b=\frac{126±18}{162}, keď ± je plus. Prirátajte 126 ku 18.

$$b=\frac{144}{162}$$

Vykráťte zlomok \frac{144}{162} na základný tvar extrakciou a elimináciou 18.

$$b=\frac{8}{9}$$

Vyriešte rovnicu b=\frac{126±18}{162}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 18 od čísla 126.

$$b=\frac{108}{162}$$

Vykráťte zlomok \frac{108}{162} na základný tvar extrakciou a elimináciou 54.

$$b=\frac{2}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$b=\frac{8}{9} b=\frac{2}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$81b^{2}-126b+48=0$$

Odčítajte hodnotu 48 od oboch strán rovnice.

$$81b^{2}-126b+48-48=-48$$

Výsledkom odčítania čísla 48 od seba samého bude 0.

$$81b^{2}-126b=-48$$

Vydeľte obe strany hodnotou 81.

$$\frac{81b^{2}-126b}{81}=-\frac{48}{81}$$

Delenie číslom 81 ruší násobenie číslom 81.

$$b^{2}+\left(-\frac{126}{81}\right)b=-\frac{48}{81}$$

Vykráťte zlomok \frac{-126}{81} na základný tvar extrakciou a elimináciou 9.

$$b^{2}-\frac{14}{9}b=-\frac{48}{81}$$

Vykráťte zlomok \frac{-48}{81} na základný tvar extrakciou a elimináciou 3.

$$b^{2}-\frac{14}{9}b=-\frac{16}{27}$$

Číslo -\frac{14}{9}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{7}{9}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{7}{9}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$b^{2}-\frac{14}{9}b+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}=-\frac{16}{27}+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{7}{9} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$b^{2}-\frac{14}{9}b+\frac{49}{81}=-\frac{16}{27}+\frac{49}{81}$$

Prirátajte -\frac{16}{27} ku \frac{49}{81} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$b^{2}-\frac{14}{9}b+\frac{49}{81}=\frac{1}{81}$$

Rozložte b^{2}-\frac{14}{9}b+\frac{49}{81} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{1}{81}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(b-\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{81}}$$

Zjednodušte.

$$b-\frac{7}{9}=\frac{1}{9} b-\frac{7}{9}=-\frac{1}{9}$$

Prirátajte \frac{7}{9} ku obom stranám rovnice.

$$b=\frac{8}{9} b=\frac{2}{3}$$