Vyriešiť 8x^3+27=0

$$8 x ^ { 3 } + 27 = 0$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i+3}{4}\approx 0,75-1,299038106i$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{3+3\sqrt{3}i}{4}\approx 0,75+1,299038106i$$

Postup riešenia

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu 27 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 8. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±\frac{27}{8},±\frac{27}{4},±\frac{27}{2},±27,±\frac{9}{8},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo 8x^{3}+27 číslom 2\left(x+\frac{3}{2}\right)=2x+3 a dostanete 4x^{2}-6x+9. Vyriešte rovnicu, kde sa výsledok rovná 0.

$$4x^{2}-6x+9=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 4 výrazom a, -6 výrazom b a 9 výrazom c.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{6±\sqrt{-108}}{8}$$

Vyriešte rovnicu 4x^{2}-6x+9=0, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=\frac{-3i\sqrt{3}+3}{4} x=\frac{3+3i\sqrt{3}}{4}$$

Uveďte všetky nájdené riešenia.

$$x=-\frac{3}{2} x=\frac{-3i\sqrt{3}+3}{4} x=\frac{3+3i\sqrt{3}}{4}$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Postup riešenia

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu 27 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 8. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±\frac{27}{8},±\frac{27}{4},±\frac{27}{2},±27,±\frac{9}{8},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo 8x^{3}+27 číslom 2\left(x+\frac{3}{2}\right)=2x+3 a dostanete 4x^{2}-6x+9. Vyriešte rovnicu, kde sa výsledok rovná 0.

$$4x^{2}-6x+9=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 4 výrazom a, -6 výrazom b a 9 výrazom c.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{6±\sqrt{-108}}{8}$$

Keďže druhá odmocnina záporného čísla nie je definovaná v poli reálnych čísel, neexistujú žiadne riešenia.

$$x\in \emptyset$$

Uveďte všetky nájdené riešenia.

$$x=-\frac{3}{2}$$