Vyriešiť 8x^2+10x-7=0

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 7 = 0$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 8x^{2}+ax+bx-7. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=10 ab=8\left(-7\right)=-56$$

Keďže ab je záporná, a a b majú opačné znaky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet 10.

$$a=-4 b=14$$

Zapíšte 8x^{2}+10x-7 ako výraz \left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right).

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)$$

Vyčleňte 4x v prvej a 7 v druhej skupine.

$$4x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

Vyberte spoločný člen 2x-1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 2x-1=0 a 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 8 za a, 10 za b a -7 za c.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Umocnite číslo 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Vynásobte číslo -32 číslom -7.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+224}}{2\times 8}$$

Prirátajte 100 ku 224.

$$x=\frac{-10±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 324.

$$x=\frac{-10±18}{2\times 8}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 8.

$$x=\frac{-10±18}{16}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-10±18}{16}, keď ± je plus. Prirátajte -10 ku 18.

$$x=\frac{8}{16}$$

Vykráťte zlomok \frac{8}{16} na základný tvar extrakciou a elimináciou 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-10±18}{16}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 18 od čísla -10.

$$x=-\frac{28}{16}$$

Vykráťte zlomok \frac{-28}{16} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Prirátajte 7 ku obom stranám rovnice.

$$8x^{2}+10x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -7 od seba samého bude 0.

$$8x^{2}+10x=-\left(-7\right)$$

Odčítajte číslo -7 od čísla 0.

$$8x^{2}+10x=7$$

Vydeľte obe strany hodnotou 8.

$$\frac{8x^{2}+10x}{8}=\frac{7}{8}$$

Delenie číslom 8 ruší násobenie číslom 8.

$$x^{2}+\frac{10}{8}x=\frac{7}{8}$$

Vykráťte zlomok \frac{10}{8} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{7}{8}$$

Číslo \frac{5}{4}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{5}{8}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{5}{8}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{7}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{5}{8} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{7}{8}+\frac{25}{64}$$

Prirátajte \frac{7}{8} ku \frac{25}{64} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{81}{64}$$

Rozložte výraz x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{9}{8}$$

Odčítajte hodnotu \frac{5}{8} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$