Vyriešiť 8n^2-106n-7500=0

$$8 n ^ { 2 } - 106 n - 7500 = 0$$

Riešenie pre n

$$n = \frac{\sqrt{62809} + 53}{8} \approx 37,952154754$$

$$n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}\approx -24,702154754$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$8n^{2}-106n-7500=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 8 za a, -106 za b a -7500 za c.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{\left(-106\right)^{2}-4\times 8\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

Umocnite číslo -106.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236-4\times 8\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 8.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236-32\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

Vynásobte číslo -32 číslom -7500.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236+240000}}{2\times 8}$$

Prirátajte 11236 ku 240000.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{251236}}{2\times 8}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 251236.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±2\sqrt{62809}}{2\times 8}$$

Opak čísla -106 je 106.

$$n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{2\times 8}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 8.

$$n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16}$$

Vyriešte rovnicu n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16}, keď ± je plus. Prirátajte 106 ku 2\sqrt{62809}.

$$n=\frac{2\sqrt{62809}+106}{16}$$

Vydeľte číslo 106+2\sqrt{62809} číslom 16.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8}$$

Vyriešte rovnicu n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 2\sqrt{62809} od čísla 106.

$$n=\frac{106-2\sqrt{62809}}{16}$$

Vydeľte číslo 106-2\sqrt{62809} číslom 16.

$$n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8} n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$8n^{2}-106n-7500=0$$

Prirátajte 7500 ku obom stranám rovnice.

$$8n^{2}-106n-7500-\left(-7500\right)=-\left(-7500\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -7500 od seba samého bude 0.

$$8n^{2}-106n=-\left(-7500\right)$$

Odčítajte číslo -7500 od čísla 0.

$$8n^{2}-106n=7500$$

Vydeľte obe strany hodnotou 8.

$$\frac{8n^{2}-106n}{8}=\frac{7500}{8}$$

Delenie číslom 8 ruší násobenie číslom 8.

$$n^{2}+\left(-\frac{106}{8}\right)n=\frac{7500}{8}$$

Vykráťte zlomok \frac{-106}{8} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n=\frac{7500}{8}$$

Vykráťte zlomok \frac{7500}{8} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n=\frac{1875}{2}$$

Číslo -\frac{53}{4}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{53}{8}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{53}{8}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\left(-\frac{53}{8}\right)^{2}=\frac{1875}{2}+\left(-\frac{53}{8}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{53}{8} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}=\frac{1875}{2}+\frac{2809}{64}$$

Prirátajte \frac{1875}{2} ku \frac{2809}{64} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}=\frac{62809}{64}$$

Rozložte n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{53}{8}\right)^{2}=\frac{62809}{64}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(n-\frac{53}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{62809}{64}}$$

Zjednodušte.

$$n-\frac{53}{8}=\frac{\sqrt{62809}}{8} n-\frac{53}{8}=-\frac{\sqrt{62809}}{8}$$

Prirátajte \frac{53}{8} ku obom stranám rovnice.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8} n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$