Vyriešiť 75x^2+35x-10=0

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 15x^{2}+ax+bx-2. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 7 súčtu.

$$a=-3 b=10$$

Zapíšte 15x^{2}+7x-2 ako výraz \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right).

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

3x na prvej skupine a 2 v druhá skupina.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

Vyberte spoločný člen 5x-1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 5x-1=0 a 3x+2=0.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 75 za a, 35 za b a -10 za c.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Umocnite číslo 35.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 75.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Vynásobte číslo -300 číslom -10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

Prirátajte 1225 ku 3000.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 4225.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 75.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-35±65}{150}, keď ± je plus. Prirátajte -35 ku 65.

$$x=\frac{30}{150}$$

Vykráťte zlomok \frac{30}{150} na základný tvar extrakciou a elimináciou 30.

$$x=\frac{1}{5}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-35±65}{150}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 65 od čísla -35.

$$x=-\frac{100}{150}$$

Vykráťte zlomok \frac{-100}{150} na základný tvar extrakciou a elimináciou 50.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Prirátajte 10 ku obom stranám rovnice.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -10 od seba samého bude 0.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

Odčítajte číslo -10 od čísla 0.

$$75x^{2}+35x=10$$

Vydeľte obe strany hodnotou 75.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

Delenie číslom 75 ruší násobenie číslom 75.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

Vykráťte zlomok \frac{35}{75} na základný tvar extrakciou a elimináciou 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

Vykráťte zlomok \frac{10}{75} na základný tvar extrakciou a elimináciou 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

Číslo \frac{7}{15}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{7}{30}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{7}{30}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{7}{30} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

Prirátajte \frac{2}{15} ku \frac{49}{900} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

Rozložte x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

Odčítajte hodnotu \frac{7}{30} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$