Vyriešiť 7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

Riešenie pre x,y

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1,689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0,655172414$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$7x-15y-2=0$$

Prirátajte 2 ku obom stranám rovnice.

$$7x-15y=2$$

Prirátajte 15y ku obom stranám rovnice.

$$7x=15y+2$$

Vydeľte obe strany hodnotou 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{7} číslom 15y+2.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

Dosaďte \frac{15y+2}{7} za x v druhej rovnici x+2y=3.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

Prirátajte \frac{15y}{7} ku 2y.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

Odčítajte hodnotu \frac{2}{7} od oboch strán rovnice.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou \frac{29}{7}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$y=\frac{19}{29}$$

V rovnici x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7} dosaďte y za premennú \frac{19}{29}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

Vynásobte zlomok \frac{15}{7} zlomkom \frac{19}{29} tak, že vynásobíte čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom. Ak je to možné, zlomok potom čo najviac vykráťte.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

Prirátajte \frac{2}{7} ku \frac{285}{203} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=\frac{49}{29}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Ak chcete, aby boli členy 7x a x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 1 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 7.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

Zjednodušte.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

Odčítajte rovnicu 7x+14y=21 od rovnice 7x-15y-2=0 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

Prirátajte 7x ku -7x. Členy 7x a -7x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-15y-14y-2=-21$$

Prirátajte -15y ku -14y.

$$-29y-2=-21$$

Prirátajte 2 ku obom stranám rovnice.

$$-29y=-19$$

Vydeľte obe strany hodnotou -29.

$$y=\frac{19}{29}$$

V rovnici x+2y=3 dosaďte y za premennú \frac{19}{29}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

Vynásobte číslo 2 číslom \frac{19}{29}.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

Odčítajte hodnotu \frac{38}{29} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{49}{29}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$