Vyriešiť 7x^2-32x-15=0

$$7 x ^ { 2 } - 32 x - 15 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x=5$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 7x^{2}+ax+bx-15. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-32 ab=7\left(-15\right)=-105$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -105.

$$1,-105 3,-35 5,-21 7,-15$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-105=-104 3-35=-32 5-21=-16 7-15=-8$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -32 súčtu.

$$a=-35 b=3$$

Zapíšte 7x^{2}-32x-15 ako výraz \left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right)$$

7x na prvej skupine a 3 v druhá skupina.

$$7x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)$$

Vyberte spoločný člen x-5 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-5\right)\left(7x+3\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-5=0 a 7x+3=0.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 7 za a, -32 za b a -15 za c.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Umocnite číslo -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 7.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Vynásobte číslo -28 číslom -15.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+420}}{2\times 7}$$

Prirátajte 1024 ku 420.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1444}}{2\times 7}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 1444.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±38}{2\times 7}$$

Opak čísla -32 je 32.

$$x=\frac{32±38}{2\times 7}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 7.

$$x=\frac{32±38}{14}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{32±38}{14}, keď ± je plus. Prirátajte 32 ku 38.

$$x=\frac{70}{14}$$

Vydeľte číslo 70 číslom 14.

$$x=5$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{32±38}{14}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 38 od čísla 32.

$$x=-\frac{6}{14}$$

Vykráťte zlomok \frac{-6}{14} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

Prirátajte 15 ku obom stranám rovnice.

$$7x^{2}-32x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -15 od seba samého bude 0.

$$7x^{2}-32x=-\left(-15\right)$$

Odčítajte číslo -15 od čísla 0.

$$7x^{2}-32x=15$$

Vydeľte obe strany hodnotou 7.

$$\frac{7x^{2}-32x}{7}=\frac{15}{7}$$

Delenie číslom 7 ruší násobenie číslom 7.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x=\frac{15}{7}$$

Číslo -\frac{32}{7}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{16}{7}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{16}{7}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{15}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{16}{7} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{15}{7}+\frac{256}{49}$$

Prirátajte \frac{15}{7} ku \frac{256}{49} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{361}{49}$$

Rozložte x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{361}{49}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{49}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{16}{7}=\frac{19}{7} x-\frac{16}{7}=-\frac{19}{7}$$

Prirátajte \frac{16}{7} ku obom stranám rovnice.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$