Vyriešiť 7x^2-18x-9=0

$$7 x ^ { 2 } - 18 x - 9 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x=3$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 7x^{2}+ax+bx-9. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-18 ab=7\left(-9\right)=-63$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -63.

$$1,-63 3,-21 7,-9$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-63=-62 3-21=-18 7-9=-2$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -18 súčtu.

$$a=-21 b=3$$

Zapíšte 7x^{2}-18x-9 ako výraz \left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right)$$

7x na prvej skupine a 3 v druhá skupina.

$$7x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Vyberte spoločný člen x-3 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-3\right)\left(7x+3\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-3=0 a 7x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 7 za a, -18 za b a -9 za c.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Umocnite číslo -18.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 7.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-28\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Vynásobte číslo -28 číslom -9.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+252}}{2\times 7}$$

Prirátajte 324 ku 252.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{576}}{2\times 7}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 576.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±24}{2\times 7}$$

Opak čísla -18 je 18.

$$x=\frac{18±24}{2\times 7}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 7.

$$x=\frac{18±24}{14}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{18±24}{14}, keď ± je plus. Prirátajte 18 ku 24.

$$x=\frac{42}{14}$$

Vydeľte číslo 42 číslom 14.

$$x=3$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{18±24}{14}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 24 od čísla 18.

$$x=-\frac{6}{14}$$

Vykráťte zlomok \frac{-6}{14} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

Prirátajte 9 ku obom stranám rovnice.

$$7x^{2}-18x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -9 od seba samého bude 0.

$$7x^{2}-18x=-\left(-9\right)$$

Odčítajte číslo -9 od čísla 0.

$$7x^{2}-18x=9$$

Vydeľte obe strany hodnotou 7.

$$\frac{7x^{2}-18x}{7}=\frac{9}{7}$$

Delenie číslom 7 ruší násobenie číslom 7.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x=\frac{9}{7}$$

Číslo -\frac{18}{7}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{9}{7}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{9}{7}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{9}{7}+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{9}{7} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{9}{7}+\frac{81}{49}$$

Prirátajte \frac{9}{7} ku \frac{81}{49} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{144}{49}$$

Rozložte x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{144}{49}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{144}{49}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{9}{7}=\frac{12}{7} x-\frac{9}{7}=-\frac{12}{7}$$

Prirátajte \frac{9}{7} ku obom stranám rovnice.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$