Vyriešiť 7x^2+4x+1=0

$$7 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}\approx -0,285714286+0,24743583i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}\approx -0,285714286-0,24743583i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 7 za a, 4 za b a 1 za c.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

Umocnite číslo 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 7}}{2\times 7}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-28}}{2\times 7}$$

Prirátajte 16 ku -28.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-12}}{2\times 7}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -12.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 7.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}, keď ± je plus. Prirátajte -4 ku 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{14}$$

Vydeľte číslo -4+2i\sqrt{3} číslom 14.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 2i\sqrt{3} od čísla -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-4}{14}$$

Vydeľte číslo -4-2i\sqrt{3} číslom 14.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Odčítajte hodnotu 1 od oboch strán rovnice.

$$7x^{2}+4x+1-1=-1$$

Výsledkom odčítania čísla 1 od seba samého bude 0.

$$7x^{2}+4x=-1$$

Vydeľte obe strany hodnotou 7.

$$\frac{7x^{2}+4x}{7}=-\frac{1}{7}$$

Delenie číslom 7 ruší násobenie číslom 7.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{1}{7}$$

Číslo \frac{4}{7}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{2}{7}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{2}{7}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{2}{7} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{4}{49}$$

Prirátajte -\frac{1}{7} ku \frac{4}{49} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{3}{49}$$

Rozložte výraz x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{3}{49}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{49}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{3}i}{7} x+\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{3}i}{7}$$

Odčítajte hodnotu \frac{2}{7} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$