Vyriešiť 7t^2-32t+12=0

$$7 t ^ { 2 } - 32 t + 12 = 0$$

Riešenie pre t

$$t = \frac{2 \sqrt{43} + 16}{7} \approx 4,15926815$$

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}\approx 0,412160422$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$7t^{2}-32t+12=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 7 za a, -32 za b a 12 za c.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

Umocnite číslo -32.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 7.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\times 12}}{2\times 7}$$

Vynásobte číslo -28 číslom 12.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-336}}{2\times 7}$$

Prirátajte 1024 ku -336.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{688}}{2\times 7}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 688.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

Opak čísla -32 je 32.

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 7.

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14}$$

Vyriešte rovnicu t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14}, keď ± je plus. Prirátajte 32 ku 4\sqrt{43}.

$$t=\frac{4\sqrt{43}+32}{14}$$

Vydeľte číslo 32+4\sqrt{43} číslom 14.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7}$$

Vyriešte rovnicu t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 4\sqrt{43} od čísla 32.

$$t=\frac{32-4\sqrt{43}}{14}$$

Vydeľte číslo 32-4\sqrt{43} číslom 14.

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$7t^{2}-32t+12=0$$

Odčítajte hodnotu 12 od oboch strán rovnice.

$$7t^{2}-32t+12-12=-12$$

Výsledkom odčítania čísla 12 od seba samého bude 0.

$$7t^{2}-32t=-12$$

Vydeľte obe strany hodnotou 7.

$$\frac{7t^{2}-32t}{7}=-\frac{12}{7}$$

Delenie číslom 7 ruší násobenie číslom 7.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t=-\frac{12}{7}$$

Číslo -\frac{32}{7}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{16}{7}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{16}{7}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=-\frac{12}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{16}{7} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=-\frac{12}{7}+\frac{256}{49}$$

Prirátajte -\frac{12}{7} ku \frac{256}{49} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=\frac{172}{49}$$

Rozložte t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{172}{49}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{172}{49}}$$

Zjednodušte.

$$t-\frac{16}{7}=\frac{2\sqrt{43}}{7} t-\frac{16}{7}=-\frac{2\sqrt{43}}{7}$$

Prirátajte \frac{16}{7} ku obom stranám rovnice.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$