Vyriešiť 6(1/x+1/x+5)=1

$$6( \frac{ 1 }{ x } + \frac{ 1 }{ x+5 } )=1$$

Riešenie pre x

$$x=-3$$

$$x=10$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Vydeľte obe strany hodnotou 6.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -5,0, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom 6x\left(x+5\right), najmenším spoločným násobkom čísla x,x+5,6.

$$6x+30+6x=x\left(x+5\right)$$

Skombinovaním 6x a 6x získate 12x.

$$12x+30=x\left(x+5\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x a x+5.

$$12x+30=x^{2}+5x$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$12x+30-x^{2}=5x$$

Odčítajte 5x z oboch strán.

$$12x+30-x^{2}-5x=0$$

Skombinovaním 12x a -5x získate 7x.

$$7x+30-x^{2}=0$$

Zmeňte usporiadanie polynomickej rovnice do štandardného tvaru. Členy zoraďte od najväčšieho po najmenší.

$$-x^{2}+7x+30=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare -x^{2}+ax+bx+30. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=7 ab=-30=-30$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 7 súčtu.

$$a=10 b=-3$$

Zapíšte -x^{2}+7x+30 ako výraz \left(-x^{2}+10x\right)+\left(-3x+30\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(-3x+30\right)$$

-x na prvej skupine a -3 v druhá skupina.

$$-x\left(x-10\right)-3\left(x-10\right)$$

Vyberte spoločný člen x-10 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-10\right)\left(-x-3\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-10=0 a -x-3=0.

$$x=10 x=-3$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Vydeľte obe strany hodnotou 6.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -5,0, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom 6x\left(x+5\right), najmenším spoločným násobkom čísla x,x+5,6.

$$6x+30+6x=x\left(x+5\right)$$

Skombinovaním 6x a 6x získate 12x.

$$12x+30=x\left(x+5\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x a x+5.

$$12x+30=x^{2}+5x$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$12x+30-x^{2}=5x$$

Odčítajte 5x z oboch strán.

$$12x+30-x^{2}-5x=0$$

Skombinovaním 12x a -5x získate 7x.

$$7x+30-x^{2}=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-x^{2}+7x+30=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -1 za a, 7 za b a 30 za c.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Umocnite číslo 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+4\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 4 číslom 30.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\left(-1\right)}$$

Prirátajte 49 ku 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -1.

$$x=\frac{-7±13}{-2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-7±13}{-2}, keď ± je plus. Prirátajte -7 ku 13.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Vydeľte číslo 6 číslom -2.

$$x=-3$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-7±13}{-2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 13 od čísla -7.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Vydeľte číslo -20 číslom -2.

$$x=10$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=-3 x=10$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Vydeľte obe strany hodnotou 6.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -5,0, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom 6x\left(x+5\right), najmenším spoločným násobkom čísla x,x+5,6.

$$6x+30+6x=x\left(x+5\right)$$

Skombinovaním 6x a 6x získate 12x.

$$12x+30=x\left(x+5\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x a x+5.

$$12x+30=x^{2}+5x$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$12x+30-x^{2}=5x$$

Odčítajte 5x z oboch strán.

$$12x+30-x^{2}-5x=0$$

Skombinovaním 12x a -5x získate 7x.

$$7x+30-x^{2}=0$$

Odčítajte 30 z oboch strán. Výsledkom odčítania čísla od nuly je jeho záporná hodnota.

$$7x-x^{2}=-30$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+7x=-30$$

Vydeľte obe strany hodnotou -1.

$$\frac{-x^{2}+7x}{-1}=-\frac{30}{-1}$$

Delenie číslom -1 ruší násobenie číslom -1.

$$x^{2}+\frac{7}{-1}x=-\frac{30}{-1}$$

Vydeľte číslo 7 číslom -1.

$$x^{2}-7x=-\frac{30}{-1}$$

Vydeľte číslo -30 číslom -1.

$$x^{2}-7x=30$$

Číslo -7, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{7}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{7}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{7}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=30+\frac{49}{4}$$

Prirátajte 30 ku \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{169}{4}$$

Rozložte x^{2}-7x+\frac{49}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{13}{2}$$

Prirátajte \frac{7}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=10 x=-3$$