Vyriešiť 6x^2-x=15

$$6 x ^ { 2 } - x = 15$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Odčítajte 15 z oboch strán.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 6x^{2}+ax+bx-15. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=-1 ab=6\left(-15\right)=-90$$

Keďže ab je záporná, a a b majú opačné znaky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet -1.

$$a=-10 b=9$$

Zapíšte 6x^{2}-x-15 ako výraz \left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right).

$$\left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right)$$

Vyčleňte 2x v prvej a 3 v druhej skupine.

$$2x\left(3x-5\right)+3\left(3x-5\right)$$

Vyberte spoločný člen 3x-5 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(3x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 3x-5=0 a 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$6x^{2}-x=15$$

Odčítajte hodnotu 15 od oboch strán rovnice.

$$6x^{2}-x-15=15-15$$

Výsledkom odčítania čísla 15 od seba samého bude 0.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 6 za a, -1 za b a -15 za c.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo -24 číslom -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+360}}{2\times 6}$$

Prirátajte 1 ku 360.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 361.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±19}{2\times 6}$$

Opak čísla -1 je 1.

$$x=\frac{1±19}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 6.

$$x=\frac{1±19}{12}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{1±19}{12}, keď ± je plus. Prirátajte 1 ku 19.

$$x=\frac{20}{12}$$

Vykráťte zlomok \frac{20}{12} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x=\frac{5}{3}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{1±19}{12}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 19 od čísla 1.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Vykráťte zlomok \frac{-18}{12} na základný tvar extrakciou a elimináciou 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x=15$$

Vydeľte obe strany hodnotou 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{15}{6}$$

Delenie číslom 6 ruší násobenie číslom 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{15}{6}$$

Vykráťte zlomok \frac{15}{6} na základný tvar extrakciou a elimináciou 3.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{5}{2}$$

Číslo -\frac{1}{6}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{1}{12}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{1}{12}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{1}{12} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{2}+\frac{1}{144}$$

Prirátajte \frac{5}{2} ku \frac{1}{144} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{361}{144}$$

Rozložte výraz x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{19}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{19}{12}$$

Prirátajte \frac{1}{12} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$