Vyriešiť 6x^2-5x-1=0

$$6 { x }^{ 2 } -5x-1=0$$

Riešenie pre x

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0,166666667$$

$$x=1$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 6x^{2}+ax+bx-1. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-5 ab=6\left(-1\right)=-6$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -6.

$$1,-6 2,-3$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -5 súčtu.

$$a=-6 b=1$$

Zapíšte 6x^{2}-5x-1 ako výraz \left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right)$$

Vyčleňte 6x z výrazu 6x^{2}-6x.

$$6x\left(x-1\right)+x-1$$

Vyberte spoločný člen x-1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-1\right)\left(6x+1\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-1=0 a 6x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 6 za a, -5 za b a -1 za c.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Umocnite číslo -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo -24 číslom -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 6}$$

Prirátajte 25 ku 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 49.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 6}$$

Opak čísla -5 je 5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 6.

$$x=\frac{5±7}{12}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{5±7}{12}, keď ± je plus. Prirátajte 5 ku 7.

$$x=\frac{12}{12}$$

Vydeľte číslo 12 číslom 12.

$$x=1$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{5±7}{12}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 7 od čísla 5.

$$x=-\frac{2}{12}$$

Vykráťte zlomok \frac{-2}{12} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Prirátajte 1 ku obom stranám rovnice.

$$6x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -1 od seba samého bude 0.

$$6x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Odčítajte číslo -1 od čísla 0.

$$6x^{2}-5x=1$$

Vydeľte obe strany hodnotou 6.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{1}{6}$$

Delenie číslom 6 ruší násobenie číslom 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{1}{6}$$

Číslo -\frac{5}{6}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{5}{12}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{5}{12}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{5}{12} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

Prirátajte \frac{1}{6} ku \frac{25}{144} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{49}{144}$$

Rozložte x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{7}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{7}{12}$$

Prirátajte \frac{5}{12} ku obom stranám rovnice.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$