Vyriešiť 6x^2+7x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 6x^{2}+ax+bx-5. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Keďže ab je záporná, a a b majú opačné znaky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet 7.

$$a=-3 b=10$$

Zapíšte 6x^{2}+7x-5 ako výraz \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

Vyčleňte 3x v prvej a 5 v druhej skupine.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

Vyberte spoločný člen 2x-1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 2x-1=0 a 3x+5=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 6 za a, 7 za b a -5 za c.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Umocnite číslo 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo -24 číslom -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

Prirátajte 49 ku 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-7±13}{12}, keď ± je plus. Prirátajte -7 ku 13.

$$x=\frac{6}{12}$$

Vykráťte zlomok \frac{6}{12} na základný tvar extrakciou a elimináciou 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-7±13}{12}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 13 od čísla -7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Vykráťte zlomok \frac{-20}{12} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Prirátajte 5 ku obom stranám rovnice.

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -5 od seba samého bude 0.

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

Odčítajte číslo -5 od čísla 0.

$$6x^{2}+7x=5$$

Vydeľte obe strany hodnotou 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

Delenie číslom 6 ruší násobenie číslom 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

Číslo \frac{7}{6}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{7}{12}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{7}{12}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{7}{12} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

Prirátajte \frac{5}{6} ku \frac{49}{144} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

Rozložte výraz x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

Odčítajte hodnotu \frac{7}{12} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$